www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896
On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct le plan P d’équation : et la sphère (S) d’équation :
1. a) Montrer que le point
1,1,1
est le centre de la sphère (S) et 2 est son rayon.b) Calculer d( (P)) ,et déduire que le plan P coupe la sphère (S) selon un cercle (C).
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle (C).
2. soit (Δ) la droite qui passe par A(1,-2,2) et qui est perpendiculaire au plan (P).
a) Montrer que est un vecteur directeur de la droite (Δ).
b) Montrer que : et déduire que la droite (Δ) coupe la sphère (S) en deux points.
c) Déterminer les coordonnées des deux points d’intersection de la droite (Δ) coupe et la sphère (S).
Une Urne contient 10 boules indiscernables au toucher:
5 boules Blanches ,3 boules Rouges et 2 Boules Vertes .
On tire de façon aléatoire et simultanément 4 boules de L’urne.
1. On considère l’événement A : « parmi les 4 boules tirées une seule boule est verte » et l’événement B : « parmi les 4 boules tirées on obtient exactement 3 boules de même couleur ».
Montrer que : .
2. Soit la variable aléatoire X liée à chaque tirage au nombre de boules Vertes tirées.
a) Montrer que :
b) déterminer la loi de probabilité de X et que l’espérance mathématique E(X) est égale à
o i j k; ; ;
0 y z
0,1, 1
u
2
A u u
8 et 19
15 70
p A p B
2 2
p X 15
4 5
www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation:
2 . On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct et les points A, B et C d’affixes respectifs
a) Soit z l’affixe du point M du plan et z' l’affixe du point M' image de M par la rotation R de centre A et d’angle .
Montrer que : z iz 4
b) Vérifier que le point B est l’image du point C par la rotation R et déduire la nature du triangle ABC.
3. Soit 𝜔 l’affixe du point Ω milieu du segmentBC. a) Montrer que : .
b) Montrer que l’ensemble des points M d’affixe z tel que : z 6 est le cercle qui circonscrit le triangle ABC .
Soit la suite définie sur IN par:
1. a) Montrer par récurrence que : Un16 pour tout n dans IN.
b) Montrer que la suite est décroissante et déduire qu’elle est convergente 2. soit la suite pour tout n dans IN.
a) montrer que la suite (Vn) est géométrique.
b) Déduire que pour tout n dans IN et déterminer la limite de la suite
I - Soit g la fonction définie sur IR par :
C
2 4 8 0
z z
O u v, ,
a 2 2i4 4 c 4 8 b i et i
2
6 c
Un 01
17
1 12
n 4 n
U
U U
Un n n 16V U
16 1 4
n
un
Un
2( ) 1 1 x
g x x e
www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 1. Verifier que : g(0)0
2. En utilisant la représentation graphique de g (le schéma ci-dessus) montrer que :
II- Soit f la fonction définie par : f x( ) x 1 (x21) ex
et sa courbe dans un repère orthonormé (unité 2cm).
1. a) Vérifier que :
2
( ) 1 4 2
2
x
x x
f x x e e x IR en déduire que
b) Calculer montrer que la droite (D) d’équation est une asymptote à la courbe au voisinage de -∞.
c) Montrer que la courbe est au-dessous de la droite (D).
2. a) Montrer que :
b) Montrer que la courbe admet un branche parabolique au voisinage de +∞ de direction à déterminer.
3. a) Montrer que pour tout x dans IR.
b) Montrer que la fonction f est croissante sur et décroissante sur , puis dresser le tableau de variation de f.
c) Montrer que la courbe admet deux points d’inflexion leurs abscisses respectifs (-3) et (-1).
4. Tracer dans le même repère la droite (D) et la courbe on admet f( 1) 5, 44 et f( 3) 2, 5
5. a) Vérifier que est une primitive de et que :
0 2
1
(x 1)e dxx 3 1 2
e
b) Calculer en l’air de la partie du plan délimitée par la courbe , la droite (D), l’axe des ordonnées et la droite d’équation x 1 .
0
, 0
g x x
0
0,
g x x
Cf
o i j; ;lim ( )
x f x
lim ( ) 1
x f x x
1
y x
Cf
Cflim ( )
x f x
x 1 1 x 1 ex
f x
x x
on écrira sous la forme
Cf'( ) ( ) f x g x
, 0
0,
Cf
o i j; ;
Cf
: 1 x
H x x e h x: xex
Cf
