G1917 – Des urnes et des boules (1ère épisode) [*** à la main]
Puce dispose de trois lots de boules rouges, bleues et vertes.
Il met dans une même urne les boules rouges et bleues (à l’exclusion des boules vertes) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met ensuite dans l’urne les boules bleues et vertes (à l’exclusion des boules rouges) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a à nouveau exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met enfin toutes les boules dans l’urne et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a une probabilité de tirer deux boules de même couleur égale à 11/32.
Q₁ Déterminer le nombre de boules bleues.
Q₂ Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur quand Puce met dans l’urne les boules rouges et vertes (à l’exclusion des boules bleues)
Solution proposée par Jacques Guitonneau Q₁
Soit r le nombre de boules rouges, b le nombre de boules bleues et v le nombre de vertes.
Le nombre de tirages différents de boules rouges est r.(r-1), celui de boules bleues est b.(b-1), tandis que le nombre de tirages total est (r+b).(r+b-1).
On a donc l’égalité suivante : (r+b).(r+b-1)=2.( r.(r-1) + b.(b-1)).
On a la même égalité entre le nombre de boules vertes et le nombre de boules bleues, soit (v+b).(v+b-1).=2.( v.(v-1) + b.(b-1)).
Les nombres de boules rouges et vertes sont donc solution de la même équation du second degré dépendant du paramètre nombre de boules bleues.X² - X.(2b +1) +b² - b =0.
Il faut bien évidemment que les solutions soient entières donc que le déterminant soit 8b +1 soit un carré parfait, ce qui limite les valeurs de b à la suite 1,3, 6,10,15,21 …
On a donc S= r+v = 2.b+1 et P= r.v = b² - b.
Si on met toutes les boules ensemble, le nombre de tirages de 2 boules de même couleur est égal à r.(r-1) + v.(v-1) + b.(b-1) = S² -2.P -S + b.(b-1) = 3.b.(b+1),
tandis que le nombre total de tirages est égal à (S+b).(S+b -1)=3.b.(3b+1).
La probabilité de tirer deux boules de même couleur est donc égal à (b+1) / (3.b +1).
La valeur de b qui répond à la question est b = 21.,
Q2
Avec cette valeur b, on détermine les valeurs de leur somme S =43 et de leur produit P= 420.
Si on met ensemble les boules rouges et vertes, la probabilité de tirer deux boules de même couleur est égale à (r.(r-1) +v.(v-1)) / S.(S-1) soit (r² +v² - (r+v)) / S.(S-1)= (S² -2P -S )/S.(S-1) = 23/43
On peut accessoirement calculer les valeurs de r et v racines de l’équation X² - X.(2b +1) +b² - b =0 soit 15 et 28.
