G148 : Mystères autour d’une urne
Je dispose d’une urne qui contient 2011 boules bleues et rouges mais sa composition est pour moi un mystère. Toutes les configurations de x boules bleues et 2011 – x boules rouges avec 0 x 2011 sont donc équiprobables, ce qui revient à écrire:
Pr{ x boules bleues et 2011 – x boules rouges dans l’urne} = pour 0 x 2011.
Dans un premier tirage sans remise, je prélève un certain nombre k de boules. Elles sont toutes de couleur rouge. Je calcule qu’avec cette valeur k j’avais une chance sur sept de réaliser un tel tirage.
En déduire k.
Après ce premier tirage, l'urne contient 2011 - k boules.J'effectue un deuxième tirage sans remise de k boules.Calculer la probabilité qu'elles soient toutes de couleur bleue.
Considérons une urne qui contient n boules dont x bleues, avec toutes les valeurs de x comprises entre 0 et n équiprobables ( Pr(x,n)=1/(n+1) ). Pour tout sous-ensemble de n-1 boules, les valeurs du nombre y de boules bleues comprises entre 0 et n-1 sont
équiprobables : Pr(y,n-1)=Pr(y,n)*(n-y)/n+Pr(y+1,n)(y+1)/n=(1/(n+1))*(n+1)/n=1/n. Par une récurrence immédiate, on en déduit que pour tout ensemble de p boules extraites de l’urne, toutes les valeurs q, comprise entre 0 et p, du nombre de boules bleues parmi ces p boules, sont équiprobables Pr(q,p)=1/(p+1). Le nombre initial n de boules dans l’urne n’intervient donc pas.
Ainsi, si l’on prélève k boules, chaque répartition, dont celle où toutes sont rouges, a une probabilité de 1/(k+1). Donc ici, k=6.
Si l’on prélève 2k boules, la répartition où il y a k boules de chaque couleur a une probabilité égale à 1/(2k+1). Dans cette configuration, la probabilité de tirer d’abord les k boules rouges est 1/C2kk =(k!)2/(2k!). Ici, C126=924.
La probabilité de tirer k boules bleues après k boules rouges est donc ((k!)2/(2k)!)(k+1)/(2k+1) soit k!(k+1)!/(2k+1)!=1/C2k+1k. Ici pour k=6, C136=1716 : après avoir tiré 6 boules rouges, il y a donc une chance sur 1716 de tirer 6 boules bleues.
