G10175. Urne et carte ` a gratter
Une urne contient des boules blanches, grises et rouges. Le jeu consiste `a tirer une ou plusieurs boules, sans remise, selon la r`egle suivante :
– si je tire une boule rouge, j’ai perdu et c’est la fin du coup ; – sinon, j’arrˆete le tirage quand je veux ;
– quand le tirage s’arrˆete sans boule rouge, je gagne 10 euros si j’ai tir´e une boule blanche, 100 euros pour deux, 1000 euros pour trois, etc.
a) Je viens de tirer une boule grise. Ai-je int´erˆet `a arrˆeter l`a le tirage ? b) Il y a au d´epart dans l’urne 6 boules blanches, 9 boules grises, 21 boules rouges. Quelle strat´egie de tirage maximise mon esp´erance de gain ? c) Une carte `a gratter cache 36 cases, dont 6 contiennent le nombre 10, 9 le nombre 1 et 21 le nombre 0. Je peux gratter autant de cases que je veux. Lorsque je d´ecide d’arrˆeter de gratter, mon gain (en euros) est ´egal au produit des nombres d´ecouverts. Ai-je int´erˆet (en grattant de fa¸con optimale) `a acheter cette carte si son prix est de 5 euros ? et si c’est 10 euros ?
Solution
a) Je consid`ere deux types d’´ev´enements, l’´ev´enement neutre (tirer une boule grise) qui n’influence pas le r´esultat de ma partie, et l’´ev´enement effectif (tirer une boule blanche ou rouge). Si je viens de tirer une boule (il se trouve qu’elle est grise), c’est que je consid´erais qu’un ´ev´enement effectif tournerait (en moyenne) `a mon avantage. Le r´esultat d’un ´ev´enement ef- fectif ne d´epend que de la proportion relative des boules blanches et rouges dans l’urne au moment du tirage ; il n’est pas influenc´e par la sortie d’une boule grise. Celle-ci ne modifie en rien mes raisons de vouloir tirer encore une boule.
b) D’apr`es la question pr´ec´edente, le choix de la strat´egie peut faire abs- traction des boules grises. Si j’ai d´ej`a tir´ebboules blanches, je peux arrˆeter avec un gain de 10b, ou poursuivre ; il reste dans l’urne 6−bboules blanches pour 21 boules rouges, d’o`u l’esp´erance de gain en poursuivant
10b+1(6−b)/(27−b).
J’ai avantage `a continuer si
10(6−b)>27−b, soit 9b <33 ou b≤3.
Ma strat´egie sera de continuer le tirage tant que je n’aurai pas tir´e 4 boules blanches.
c) La carte `a gratter peut se mod´eliser par l’urne des questions pr´ec´edentes.
Avec la strat´egie optimale qu’on vient de voir, mon espoir de gain corres- pond `a l’obtention de 4 boules blanches sans boule rouge, soit
10000 6 27
5 26
4 25
3
24 = 1
0,117 = 8,547008547. . . euros.
Acheter cette carte `a 5 euros est une bonne affaire, `a 10 euros c’est peut- ˆetre un plaisir, mais pas une affaire.
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