• Aucun résultat trouvé

Soit X une var discr`ete admettant une esp´erance et A un ´ev´enement tel que P(A)∈]0,1[

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Soit X une var discr`ete admettant une esp´erance et A un ´ev´enement tel que P(A)∈]0,1["

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Universit´e de Caen Basse-Normandie Ann´ee 2011-2012 Mardi 04-01-2012 Christophe Chesneau Examen final

Probabilit´es et Statistique Dur´ee : 3h00 (de 09h00 `a 12h00)

Seuls les stylos sont autoris´es

Chaque candidat doit porter son nom dans le coin de la copie qu’il cachera par collage apr`es la signature de la feuille d’´emargement. Il devra porter son num´ero de place sur chacune de ses copies ou intercalaires.

Exercice 1. (2 pts). Soit X une var discr`ete admettant une esp´erance et A un ´ev´enement tel que P(A)∈]0,1[. On appelle esp´erance de X conditionnellement `a A le r´eel :

EA(X) = X

k∈X(Ω)

kPA({X =k}).

Exprimer E(X) en fonction de P(A),EA(X) et EA(X).

Exercice 2. (3 pts). Soient p ∈]0,1[, n ∈ N et X1, . . . , Xn n var iid suivant chacune la loi g´eom´etrique G(p) :

P(X1 =k) =p(1−p)k−1, k ∈N. Calculer P(X1 =X2 =. . .=Xn).

Exercice 3. (3 pts). Soit X une var de fonction de r´epartition F(x) = 1

1 +e−x, x∈R. 1- CalculerP(X <0) et P(0≤X ≤ln 2).

2- On pose Y =eX. D´eterminer une densit´e de Y. 3- CalculerE(√

Y + 1).

Exercice 4. (3 pts). Soient θ >1 et X une var de densit´e

f(x) =

(θ(1−x)θ−1 six∈[0,1],

0 sinon.

1- V´erifier que f est bien une densit´e.

2- CalculerE(1−X) et E((1−X)2).

3- En d´eduire les valeurs de E(X) et V(X).

(2)

Exercice 5. (3 pts). Soit (X, Y) un couple de var de densit´e

f(x, y) =

 1

x si 0 ≤y ≤x≤1, 0 sinon.

1- D´eterminer une densit´e de X, puis une densit´e de Y. 2- CalculerE(X), E(Y) et E(XY). En d´eduire C(X, Y)

Exercice 6. (3 pts). Soit (X, Y) un couple gaussien de moyenne (1,1) et de matrice de covariance

V = 4 3 3 3

! .

1- Est-ce que (X2, Y) est un couple gaussien ? 2- CalculerE(X2), E(Y2) et E(XY) .

3- D´eterminer une densit´e de X−Y et calculer E(|X−Y|).

Exercice 7. (3 pts). Soit (Xn)n∈N une suite de var iid telles que E(X1) = 0 et E(X12) = 1.

Pour tout n∈N, on pose

Sn=

n

X

k=1

Xk.

1- D´eterminer

n→∞lim P(Sn ≥0).

2- a) Exprimer E(Sn2) en fonction de n.

b) En d´eduire que

n→∞lim P

|Sn| ≥n34

= 0.

Références

Documents relatifs

Montrer que ce polynˆ ome est une forme quadratique de

D´ eterminer une base directe V de R 3 form´ ee de vecteurs propres de A et orthonorm´ ee pour le produit scalaire canonique?. ´ Ecrire la matrice de passage P entre les bases E et V

Tracer l’allure la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps, lors d’une charge sous une tension constante U ref à travers une résistance R.. Tracer le graphe de

[r]

Pour illustrer les diff´ erences, les exercices 1 et 2 mettent en sc` ene un math´ ematicien, Maurice, qui confond les deux : il interpr` ete le langage quotidien comme si il

[r]

Pour chacune des applications suivantes de P dans P , dire si elle est bijective et si oui d´ eterminer sa bijection

1 (parmi ceux ayant autant d’´ equations que d’inconnues) ; calculer le d´ eterminant de la matrice du syst` eme, et v´ erifier la relation vue en cours entre sa nullit´ e et