MINESEC/DREN/DDD Examen : Évaluation N◦3
LYCEE DE MAROUA-KONGOLA Classe: Tle D
Département de Mathématiques Durée : 3 heures
Année Scolaire :2020−2021 Coef : 4
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
L’épreuve comporte deux parties indépendantes sur 20 points. La qualité de la rédaction et du raisonnement seront pris en compte dans l’évaluation de la copie du candidat.
A/ EVALUATION DES RESSOURCES (15,5 POINTS) EXERCICE 1 : (6 points)
I/ On pose pour tout réel : P(x) = 2x3−x2−5x−2
1) Résoudre dans R l’inéquation : P(x)<0. 0,75 pt 2) En déduire la résolution dans R de l’inéquation :
2 lnx+ ln(2x−1)<ln(5x+ 2). 0,75 pt
3) Résoudre dans R×R, le système (S) :
( lnx(y−1) = −1 ln
√x
y−1 =−2 1 pt
II/ 1) a) Résoudre dans C l’équation : z2 −10z+ 50 = 0. 0,75 pt b) Ecrire chacune des solutions sous la forme trigonométrique 0,5+0,25 pt 2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O, ~u, ~v),
on considère les points A, B et C d’affixes respectives zA= 5 + 5i, zB= 5−5i et zC = 2−4i
a) Déterminer l’affixe de l’image A0 de A par la translation de
vecteur~v d’affixe −2−6i. 0,25 pt
b) Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre C et
dont une mesure de l’angle est −π2. 0,25 pt
c) Déterminer l’écriture complexe de l’application f =r◦t.
En déduire la nature de f et ses éléments caractéristiques. 0,75 pt d) Soit h l’homothétie de centre I d’affixe 5−i et de rapport −32.
Déterminer l’écriture complexe de h. 0,5 pt
En déduire l’affixe de l’image B0 du point B par h. 0,25 pt EXERCICE 2 : (4,75 POINTS)
Soit la suite numérique (Un) définie sur N? par : Un= n(n+ 2) (n+ 1)2.
1) a) Prouver que pour tout entier n non nul, 0< Un≤1. 0,75 pt b) Etudier le sens de variation de la suite (Un). 0,5 pt 2) On pose : Pn=U1×U2×U3×. . . .×Un.
a) Démontrer par récurrence que pour tout n élément de N?, on a : Pn= n+ 2
2(n+ 1). 1 pt
b) Calculer la limite de Pn lorsque n tend vers l’infini. 0,25 pt 3) On pose Vn = ln(Un).
a) Justifier que la suite (Vn) est définie sur N?. 0,25 pt b) Déduire de la question 1) que la suite (Vn) est négative. 0,5 pt
3èmeÉvaluation _Février2021/Maths_TleD BONNE CHANCE !!!. FONGANG N. Junior (Stagiaire) M. DANMO Parfait (Encadreur)
c) Prouver que la suite (Vn) est croissante. 0,5 pt d) Déterminer la limite de Vn lorsque n tend vers l’infini. 0,25 pt 4) On pose pour tout entier n strictement positif :
Sn=V1+V2+. . . .+Vn.
a) Exprimer Sn en fonction de Pn. 0,5 pt
b) Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers l’infini. 0,25 pt EXERCICE 3 : (4,75 points)
Soit f la fonction définie sur I = [0,1] par f(x) =
r1 +x 2 .
1) a) Résoudre l’équation f(x) =x 0,25 pt
b) Étudier les variations de f. 0,5 pt
c) Montrer que pour tout x∈I, on a0≤f0(x)≤ 1
2√
2 0,75 pt
2) Soit (Un) la suite définie par :
U0 = 12
Un+1 =f(Un)
a) Démontrer que pour tout n∈N, on a : 0< Un < Un+1 <1 1 pt
b) En déduire que la suite (Un) converge. 0,5 pt
c) Démontrer que pour tout n∈N, on a : |Un+1−1| ≤ 1
2√
2|Un−1| 0,75 pt d) En déduire que pour tout n ∈N, on a : |Un−1| ≤(2√12)n|U0−1|
et déduire la limite de la suite (Un). 1 pt
B/ EVALUATION DES COMPÉTENCES (4,5 POINTS)
Le 1er janvier 2012, la population d’un pays s’élevait à30 millions d’habitants. On estime que l’augmentation de la population pour les 15 ans à venir sera de 2% par an. Dans ce pays, le premier ministre à qui son roi propose (en remerciement d’avoir inventé le jeu d’échecs), une pièce d’or par case du jeu d’échec, refuse poliment mais accepte, en revanche, que le roi remplace les pièces d’or par des grains de blé et qu’il mette, non pas un grain de blé sur chaque case, mais un grain de blé sur la 1ère case, 2 grains sur la 2ème, et ainsi de suite en doublant chaque fois le nombre de grain jusqu’à la 64ème case.
On sait que le roi ricane mais le premier ministre ricane encore plus.
Tâches
1) Quelle était l’augmentation en poucentage, entre la population au
1er janvier 2012 et la population au 1er janvier 2019 de ce pays ? 1,5 pt 2) Déterminer l’année à partir de laquelle la population dépassera 36 millions
d’habitants. 1,5 pt
3) Combien de grains de blé devront être posés par le roi sur l’échiquier ? 1,5 pt
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