MPSI 2
Exercice 1 Matrices
1. Étant donné une matrice carrée A = (aij)1≤i,j≤n à coefficients dans K, on appelle trace deA le scalaireTr(A) =a11+a22+· · ·+ann, somme des éléments diagonaux. Montrer qu’on aTr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)etTr(AB) = Tr(BA), lorsqueAet B sont de même dimension.
2. SoitAune matrice carrée, montrer queAest inversible si et seulement s’il n’existe pas de vecteur colonneX non nul tel queAX= 0.
3. Montrer que si A = (aij)1≤i,j≤n et si, pour tout 1 ≤i ≤ n, on a |aii| > P
j6=i|aij|, alors A est inversible.
Exercice 2 Espaces vectoriels
1. Dans l’espace R4, on donne les vecteurs x1 = (1,1,2,1), x2 = (1,−1,0,1), x3 = (0,0,−1,1), x4= (1,2,2,0)etx= (1,1,1,1).
(a) Montrer que les quatre vecteurs(xi)1≤i≤4 forment une base deR4. (b) Déterminer les coordonnées dexdans la base(xi)1≤i≤4.
2. Dans un espace vectorielEsur le corps des complexes, on donne trois élémentsa,betcet on pose u=b+c,v=c+aet w=a+b.
(a) Montrer que les sous-espaces vectoriels engendrés par a, b et c d’une part et u, v et w de l’autre sont identiques.
(b) Montrer que les vecteurs u, v et w sont indépendants (i.e forment une famille libre) si et seulement si a,bet cle sont.
3. On se place dans l’espace vectoriel E des fonctions continues de [0; 1]dans R. SoitF l’ensemble des fonctions dont l’intégrale est nulle.
(a) Montrer queF est un sous-espace vectoriel deE.
(b) En donner un supplémentaire.
4. On se place dans l’espace vectoriel En des polynômes à coefficients réels de degré inférieur à n.
SoitAun polynôme non constant, dansEn.
(a) Montrer que l’ensembleF des polynômes deEndivisibles parA, i.e. de la formeABpour un certainB dansEn, est un sous-espace vectoriel deEn.
(b) En déterminer un supplémentaire et donner la dimension deF.
(c) On note U0 = 1 et, pour 1 ≤ k ≤ n, Uk(X) = X(X−1)· · ·(X −k+ 1). Montrer que les polynômesUk forment une base deEn.
Exercice 3 Fonctions trigonométriques
1. Montrer que les familles de fonctionsfn etgn deRdansRdéfinies parfn(t) = sinn(t)etgn(t) = sin(nt)sont libres dansC0(R,R).
2. SoitEn l’ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur àn, i.e. des fonctions de la forme x(t) = a0+Pn
k=1(akcos(kt) +bksin(kt))avec des coefficients ai et bj réels. Montrer que En est un espace vectoriel.
3. Montrer, en utilisant des résultats sur les équations différentielles, que si xest la fonction nulle, alors tous les coefficientsai etbj sont nuls.
4. Donner la dimension deEn ainsi qu’une base.
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Exercice 4 Corps des complexes (*)
On se place dans l’espace vectorielE des matrices2×2à coefficients réels, i.e.E=M2,2(R).
1. Soit A =
a b c d
dans E, calculer A2 et montrer qu’il existe des réels α et β tels que A2 = αA+βI2.
2. Dans quel cas ces coefficientsαetβ ne sont pas uniques ?
3. On noteF le sous-espace vectoriel engendré par AetI2. Quelle est sa dimension ? 4. Montrer que siB appartient à F et est inversible, son inverse appartient à F.
5. Déterminer quandF admet une structure de corps.
6. Lorsque a=d= 0 etb=−c= 1, montrer que ce corps est isomorphe au corps des complexes.
Exercice 5 Exponentielle et logarithme (*)
Toutes les matrices considérées sont carrées d’ordrenet à coefficients complexes. On dit qu’une matrice Aest nilpotente s’il existe un entierr≥1tel queAr= 0, et unipotente si la matriceIn−Aest nilpotente.
1. Lorsque N est nilpotente, on pose exp(N) = In+ N 1! +N2
2! +· · ·+Nr
r! +· · ·. Vérifier que N =
0 a c 0 0 b 0 0 0
est nilpotente (icia,bet csont des scalaires quelconques) et calculerexp(N).
2. LorsqueU est unipotente, on poselog(U) =−In−U
1 −(In−U)2
2 − · · · −(In−U)r
r +· · ·. Vérifier que U =
1 x z 0 1 y 0 0 1
est unipotente (ici x, y et z sont des scalaires quelconques) et calculer log(U).
3. Montrer qu’on aexp(log(U)) =U etlog(exp(N)) =N.
4. A quelle condition N et N0, nilpotentes de la forme donnée en 1., commutent-elles (i.e. N N0 = N0N) ? Vérifier qu’alorslog(N N0) = log(N) + log(N0).
5. A quelle conditionUetU0, unipotentes de la forme donnée en 2., commutent-elles ? Vérifier qu’alors exp(U+U0) = exp(U) exp(U0).
6. Pour N nilpotente, donner une définition plausible decos(N)etsin(N). Montrer qu’alors, lorsque N et N0 commutent et sont comme en 1., on a cos(N +N0) = cos(N) cos(N0)−sin(N) sin(N0), sin(N+N0) = sin(N) cos(N0) + sin(N0) cos(N)et cos2(N) + sin2(N) =In.
7. Pour tout t complexe, on pose U(t) =
1 t 2t+ 2t2 3t+172t2+ 4t3 0 1 4t 5t+ 12t2+ 3t4
0 0 1 6t
0 0 0 1
. Montrer qu’on a
U(t+s) =U(t)U(s)puis exhiber une matrice nilpotenteN telle queU(t) = exp(tN).
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