PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
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Conclusions à tirer d’un résultat égal au vecteur nul de E ou à 0
1. 𝐊𝐞𝐫 𝒇 = 𝟎𝑬 ⇔f est injective
Ce théorème est au programme. Il peut donc être admis
2. 𝟎 𝐞𝐬𝐭 𝐯𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐫𝐞 𝐝𝐞 𝒇
a. 0 est valeur propre de 𝑓⇔ f est non inversible
Ce théorème est au programme. Il peut donc être admis. En voici toutefois la démonstration :
𝜆=0 est valeur propre de f ⇔∃𝑥∈𝐸,𝑥≠0!,𝑓 𝑥 =0.𝑥=0! Dans ce cas : 𝑥∈Ker(𝑓). Or, par hypothèse : 𝑥≠0!. Donc :
Ker(𝑓) ≠ 0! . Ainsi : f est non injective, donc f est non bijective.
Par conséquent, f est non inversible.
b. 0 est valeur propre de 𝑓⇒ 𝐸!=Ker(𝑓)
𝜆=0 est valeur propre de 𝑓⇔∃𝑥∈𝐸,𝑥≠0!,𝑓 𝑥 =0.𝑥=0! Dans ce cas : 𝑥∈Ker(𝑓).
Donc : 𝐸!=Ker(𝑓)
3. 𝐊𝐞𝐫 𝒇 ≠ 𝟎𝑬 ⇒𝟎∈𝐒𝐩(𝒇)
𝑥∈Ker 𝑓 ⇔∃𝑥∈𝐸,𝑥≠0!,𝑓 𝑥 =0=0.𝑥 car 𝑥≠0!. Donc 𝜆=0 est valeur propre de f.
En d’autres termes : 0∈Sp(𝑓)
