N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
F. G OMES T EIXEIRA
Démonstration d’une formule de Waring
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 7 (1888), p. 382-384
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DÉMONSTRATION D'UAE FORMULE DE WARLVG;
P u i M. F. GO MES TEIXEIRA, Professeur a FKeole Pol} technique de Porto.
Dans uu interessant article intitulé : Sur eert aines /onctions symétriques ; application au calcul de la somme des puissances semblables des racines d'une éf/uation (*), M. M. d'Ocagne calcule, au moyen de la théorie des fonctions symétriques, la fonction
où x{, ,r2, . . . représentent les racines de l'équation
U = Ao-r/'-h Ai-r/'-i —. . . + A/ Mj + Ay^ o;
et ensuite déduit, du résultat auquel il arrive, une for- mule pour le calcul de la somme des puissances sembla- bles des racines de cette équation, analogue à celle de Waring. Il part de l'identité
D.rIo«U=
qui, étant dérivée n — i fois par rapport à .r, donne
V l = V D»lo«U.
Le but de cette j\ote est de faire voir qu'on peut, par
( M Jonuil île Scieiu itis mat'Iicmaticas ( C o i m b r a )• t \ I I , p . 1 3 3 .
( 383 )
H m é t h o d e de M . M . (TOcagne, o b t e n i r la foi mule de W a r i n g en faisant usage p o u r le caleul de D^ logU d ' u n e formule dilï'éiente de celle qu'il a employée, à savoir (*)
n ' — {K )Â\ u )A> . . . ( u " V
ou \ repiésente une somme qui se rapporte à toutes les solutions entières positives de l'équation
y J- > 3 -r- . — /> A — n ,
et où
/ ^ r a + J + . -T-)
E n e(let,cette formule donne
N . nUi— 0 ' U - ' l «IJ"? . . l ^
)
parce cpie
INous avons donc
et, en posant .r =. o,
ou
( ' ) Fo^r le Calcul difftienlid de M I lîeHiund, p 3o8, ou mon Cuiso de Analyse infinitésimal p IS'J
En appliquant maintenant cette formule à l'équation
\pxi> -t- Ap-iZ-P-1 -f-...-f- A j x -f- Ao = o,
dont les racines sont inverses des racines de l'équation proposée, on trouve la formule de Waring
où a, [3, . . ., ), sont les solutions entières positives de l'équation
et où
i —- a -f- p - h . . . - i - X.
