Note sur les sommes de puissances semblables

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M ^OURGUES

Note sur les sommes de puissances semblables

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 10 (1851), p. 78-80

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1851_1_10__78_1>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1851, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

NOTE SUR LES SOMMES DE PUISSANCES SEMBLABLES;

PAR M. MOURGUES, Professeur à Marseille.

Soit Pⁿ la somme des combinaisons n à n de m quan*

tités a, i , c... A ; soit A„ la partie de ces combinaisons qui ne contient pas a, Bⁿ celle qui ne contient pas b....

On sait d'abord que

Je dis en second lieu que

(2) A. + B. + C . . . +H^H=:(m— n)Vⁿⁱ

( * ) On abrège beaucoup en faisant AB = m, BA' = n, A;B' = ^, et écrivant n( m -f- n-+-p) = mp, A « = - ( m - + - n )7 AjS = - ( n

( 7 9 )

car une combinaison quelconque abc... e n'entre pas dans les n parties Aⁿ, B,^t,..., Eⁿ, et entre une seule fois dans chacune des m — n autres.

Cela posé, de la formule (i) on déduit Pn =

Pn_, =

k P,=:A,

Multipliant les membres de la première équation par ( — a ) , de la deuxième par ( - | - a²) , de la troisième par (—a8), etc., et sommant, il vient

(4) Pⁿ — *Pⁿ_,-+- «^aP„_^a... ± aⁿ- ' P^tq i aⁿ = A^B. De même

P „ - ^ P ^^t- h ^ P „ _². . . rfcé-'P, Zf.b"=:Bⁿ; d'où, par addition,

mVⁿ — S, P,^ -+- S² Pⁿ^²... dzS—, P, qr Sⁿ = Aⁿ 4- B^B... + H^fl, et, par suite, en vertu de l'équation (2),

(5) nPn - S, Pn_2 + S2 PB_,.. . qp Sn_, P, ± Sn = o.

C'est la formule qui donne, en fonction des combinai- sons , les sommes de puissances semblables d'indices in- férieurs à m.

En second lieu, pour n = m, la première des relations (3) se réduit à Pm = aAM_1, et, par suite, l'égalité (4) devient

P» — flP—. -+- «2 P«-.- • - q= «*-' P, qzam = o;

d'où, en multipliant les deux membres par ar,

flrP« — Û^1 Pw-t -h ar+J Pw-2. . . ± «r+—1 P, =F ör+w == o.

Remplaçant a successivement par 6, c,..., et sommant.

( 8 o ) on a

(6) S^r P^m — S^r+I P^m_,. . . ± S^r+OT_, P, zp S^flH_^r = o.

C'est la formule relative aux sommes d'indices non in- férieurs à m.