Sur la somme des puissances semblables des <span class="mathjax-formula">$n$</span> premiers nombres

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E ^RNEST D ^UPORCQ

Sur la somme des puissances semblables des n premiers nombres

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 9 (1890), p. 594-595

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1890_3_9__594_1>

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

(2)

SUR LA SOMME DES PUISSANCES SEMBLABLES DES // PREMIERS NOMBRES;

PVR M. E R N E S T D U P O R G Q , Elève de l'Ecole Monge.

En supprimant, dans chacune des (/z + i)^i(mes pre- mières lignes du triangle de Pascal, le chiffre qui la ter- mine, puis en la complétant par des o, on obtient le dé- terminant

O (3 . . . O O

dont la valeur est évidemment n-\- 1 !.

Si l'on y remplace chaque élément de la dernière co- lonne par la somme des éléments delà rangée correspon- dante, multipliés, le premier par i, le deuxième par x , le troisième par x², . . . , 1 e /;^kme par xP~^K, . . ., enfin le dernier par x^rl, on a le déterminant

1 I

I I

o '2

H

n -r-1

o . . . o . . .

o o

n GJ+ l

i H i -f- n

- n x -t-.

-r- I X -f- I

. . . -i- /i -i- i xⁿ

(3)

dont la valeur est n -h i ! xn. On peut donc écrire l'iden- tité

I I

. I

o 2

n

rt-hJ o ..

o ..

o o

n

• CJ+1 X - h l

X -\-ln n xn

i n - h i . . .

En désignant par ƒ ( # ) le second terme du premier membre, on a donc successivement

D'ailleurs On a, par suite.

Ainsi la somme des rciemes puissances des x premiers nombres est donnée par l'expression /[x -f- i), qu'il est plus avantageux d'écrire

(— i)'1

X I Ü .r2 i 'j.

x'1 i /^