Lyc´ee Dominique Villars TD ECE 2
Etudes de variables d´ efinies ` a partir de variables discr` etes et continues
Exercice 1 - EDHEC 2016
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Exercice 2 - EML 2011 - Variable al´ eatoire ` a densit´ e conditionn´ ee par une variable al´ eatoire discr` ete
Dans cette partie, on note U une variable al´eatoire suivant la loi g´eom´etrique de param`etre p.
1. Rappeler la loi de U, son esp´erance et sa variance.
On consid`ere une variable al´eatoire T telle que : ∀n∈N∗, ∀t∈[0; +∞[, P(U=n)(T > t) =e−nt. 2. (a) Montrer : ∀t∈[0; +∞[, P(T > t) = p e−t
1−q e−t.
(b) D´eterminer la fonction de r´epartition de la variable al´eatoireT.
(c) En d´eduire queT est une variable al´eatoire `a densit´e et en d´eterminer une densit´e.
3. On note Z =U T.
(a) Montrer : ∀n∈N∗, ∀z∈[0; +∞[, P(U=n)(Z > z) =e−z.
(b) En d´eduire que la variable al´eatoireZ suit une loi exponentielle dont on pr´ecisera le param`etre.
(c) Montrer : ∀n∈N∗, ∀z∈[0; +∞[, P((U =n)∩(Z > z)) = P (U =n)P(Z > z).
Exercice 3 - loi d’un produit de variables discr` etes/continues
On consid`ere deux variables al´eatoiresX etY, d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,A, P),et ind´ependantes.
On suppose queX est une variable `a densit´e et on note FX sa fonction de r´epartition.
On suppose par ailleurs que la loi de Y est donn´ee par P(Y = 1) =P(Y =−1) = 1
2. et queX suit la loi expo- nentielle de param`etre 1.
L’ind´ependance deX etY se traduit par les ´egalit´es suivantes, valables pour tout r´eelx :
P([X6x]∩[Y = 1]) =P(X6x)P(Y = 1) et P([X6x]∩[Y =−1]) =P(X6x)P(Y =−1). On poseZ =XY et on admet queZ est, elle-aussi, une variable al´eatoire d´efinie sur (Ω,A,P).
1. En utilisant le syst`eme complet d’´ev´enements {(Y = 1),(Y =−1)},montrer que la fonction de r´epartition FZ de la variable al´eatoire Z est donn´ee par :
∀x∈R, FZ(x) = 1
2(FX(x)−FX(−x) + 1).
2. (a) Montrer que la fonction de r´epartitionFZ de la variable al´eatoireZ est d´efinie par : FZ(x) =
1−12e−x si x>0
1
2ex si x <0 (b) En d´eduire queZ est une variable al´eatoire `a densit´e.
(c) Etablir alors qu’une densit´e de Z est la fonction fZ d´efinie pour tout r´eel x par : fZ(x) = 1
2e−|x|. (d) Donner la valeur de l’int´egrale
Z +∞
0
xe−xdx.
(e) Montrer quefZ est une fonction paire et en d´eduire l’existence et la valeur deE(Z).
3. (a) Donner la valeur de l’int´egrale Z +∞
0
x2e−xdx.
(b) En d´eduire l’existence et la valeur de E(Z2),puis donner la valeur de la variance deZ.
4. (a) D´eterminerE(X)E(Y) et comparer avec E(Z).Quel r´esultat retrouve-t-on ainsi ? (b) Exprimer Z2 en fonction deX, puis en d´eduire de nouveau la variance de Z.
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