ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 6 - durée : 1 h 25 mars 2011
Exercice I.
On considère la fonctionf dénie sur R∗+ par f(x) = 3x2+ 2 ln(x)−8x−1. 1. f est-elleC∞sur R∗+? Justier.
2. Etudier les variations def. 3. Montrer que 1
√
3 est un point d'inexion def, et étudier sa convexité surR∗+. Exercice II.
On considère la fonctionf dénie sur Rparf(x) =
1 2x−3
2x2+x3 six≤0 ln(1 +x)e−x six >0 1. Expliquer brièvement pourquoif est C∞ surR∗.
2. a. Montrer quef est continue en0. b. Que peut-on en conclure ? 3. a. Etudier la dérivabilité de f en 0.
b. Que peut-on en conclure ? A-t-onf ∈ C∞(R)?
Exercice III.
On souhaite étudier le convergence de la suiteu, dénie par récurrence par son1er terme u0 ≤0, et,
∀n∈N, un+1 =−u2n.
1. Expliquer brièvement pourquoi cette suite est bien dénie.
2. Déterminer les limites possibles de cette suite.
3. Que se passe-t-il siu0 vaut 0?
4. Trouver une autre valeur deu0 menant à une conclusion analogue.
5. Etudier les variations deu lorsque u0 ∈]−1; 0[, puis conclure.
6. Faire de même lorsqueu0 <−1. Question supplémentaire.
Etendre l'étude précédente au cas oùu0 >0.
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