Analyse, séance 4 : corrigé des exercices
UN PROBLÈME AUX LIMITES : analyse et approximation
Un exemple en dimension 2
Nous considérons ici un problème un peu plus général que le problème de la membrane introduit à la séance 3. Soit Ω un domaine du plan dont le bordΓ est supposé polygonal. k, c, λsont des constantes réelles,q(x)etu0 des fonctions continues définies surΩ.
SoitWhest l’espace des fonctions continues affines par morceaux sur un maillage en triangles deΩ; on considère le problème
−k∆u+cu=q
u=u0 sur Γ (1)
Soit
U0 ={v∈C2(Ω)/ v|Γ=u0} et
V0={v∈C1(Ω)/ v|Γ= 0}
Soit
a(u, v) = Z
Ω
kGraduGradv dΩ + Z
Ω
c u v dΩ (2)
L(v) = Z
Ω
q v dΩ (3)
Question 1
Formulation faible ....
•Montrer l’équivalence du problème (1) et de la formulation faible ...
Corr.:
On procède exactement comme au paragraphe 3.3 du polycopié (par rapport à l’exemple du § 3.3, le bordΓ1 est vide.
Question 2 Approximation
1
Mathématiques 2 2
...
•Rappeler les principes de construction du système : K U=F qui détermineuh.
Corr.:
Voir le §7.2.5 du polycopié.
Question 3
Un calcul à la main
On suppose icic= 0. Soit un triangle rectangle isocèle de sommet(1,2,3)et de côtéh(fig. 1).
•Dessiner les graphes des fonctions de base restreintes à ce triangle.
1
2 3
FIG. 1 – Un triangle élémentaire
On poseSe = Surface(Ωe), montrer que les coefficients de la matrice de raideur élémentaire de ce triangle pour deux sommetsietjsont1:
Ke,i,j =k SeGradwi.Gradwj
En déduire :
Ke= k 2
1 −1 0
−1 2 −1 0 −1 1
(4)
Corr.: La réponse est dans la question.
Question 4
•On suppose encorec= 0. Pour le maillage de la figure 2, dessiner le support des fonctions de base
1En remarquant que le gradient d’une fonction affine est constant
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Mathématiques 2 3
1 2
4 3
FIG. 2 – Un maillage simple
et identifier les triangles qui contribuent à un élément de la matrice.
•En remarquant que la matrice élémentaire d’un triangle ne dépend que de sa forme, montrer que :
K=k
4 −1 0 −1
−1 4 −1 0 0 −1 4 −1
−1 0 −1 4
(5)
(Remarquer qu’en dimension 2 la matrice ne dépend pas deh, maish2figure dans les coefficients du second membre). Vérifier que l’on retrouve ici, pour un maillage régulier, les mêmes équations que par la méthode des différences finies.
Corr.: la réponse est dans la question.
Question 5
Un programme de calcul
...
• Soit un domaineΩcarré, découpé en 4 triangles rectangles isocèles à partir de son centre. On a doncne= 4,np= 5, préciser les tableaux COORD et ELEM .
Corr.:
On donne le numéro5au nœud du centre et1,2,3,4aux quatre sommets du carré, on suppose que le côté du carré a pour longueurhet on place l’origine au nœud4
ELEM=
5 3 2 5 2 1 5 1 4 5 4 3
COORD=
0 h h h h 0 0 0
h 2
h 2
(6)
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1
1 22
3 3 4
4
5 5 1 1
2 2
3 3 4 4
FIG. 3 – Carré découpé en quatre triangles rectangles isocèles.
•Faire “tourner” à la main le programme ci-dessus sur cet exemple.
•Écrire un programme de calcul des matrices de raideur élémentaire associées au terme Z
Ω
kGradu .Gradv dΩ Corr.:
Polycopié § 7.2.5 p. 170.
•Écrire un programme de calcul des termes du second membreFassociés àR
Ωqv dΩ.
Corr.:
Polycopié § 7.2.5 p. 170, 171.
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