Université Nice-Sophia Antipolis Année 2018/2019
L3 MA/M/MI Semestre 1
Examen d'Algèbre et Géométrie Lundi 17 décembre 2018, durée : 2 heures Les documents et les calculatrices ne sont pas autorisés.
Exercice 1 On se place dans l'espace euclidien R3,h−,−i
oùh−,−idésigne le produit scalaire standard surR3. On considère la matriceA∈M3(R)et la droite D⊂R3 dénies par
A=
3 4
√ 6 4
1 4
−
√6 4
1 2
√6 4 1
4 −
√ 6 4
3 4
etD=R
1 0 1
.
1. Montrer queA(D) =D. Montrer que pour tousv, w∈R3 on ahv, wi=hAv, Awi. En déduire queA(D⊥) =D⊥ oùD⊥ désigne l'orthogonal de Ddans R3,h−,−i
. 2. Expliciter une base orthonorméeB1 de Det une base orthonormée B2 de D⊥.
En déduire queB =B1∪B2 est une base orthonormée de R3,h−,−i .
3. Expliciter la matriceRde l'endomorphismeA:R3→R3dans la baseBobtenue ci-dessus.
En déduire la nature géométrique de cet endomorphisme.
4. Expliciter une matrice orthogonale O∈O3(R) telle que A=ORO−1. Exercice 2 On se place dans l'espace hermitien C3,h−,−i
où h−,−i désigne le produit her- mitien standard surC3. On considère la matrice H∈M3(C) dénie par
H =
2 i i
−i 2 1
−i 1 2
.
1. Calculer les valeurs propres deH. Pourquoi sont-elles réelles ? Quelles sont les dimensions des espaces propres associés ? Expliciter une base pour chaque espace propre deH. 2. Expliciter une base orthonormée de C3,h−,−i
formée par des vecteurs propres de H. En déduire une matrice unitaireU ∈U3(C) telle que U−1HU soit diagonale.
3. On considère la forme quadratique q :C3 → C dénie par q(v) = tvH¯v. Exprimer q(v) en fonction des coordonnées dev∈C3. Montrer que q(v)∈Rpour tout v∈C3.
4. Déterminer la signature de la forme quadratiqueq. Que peut-on en déduire sur les vecteurs v∈C3 tels que q(v) = 0?
Exercice 3 On considère la matrice
Cm =
0 1 −1
1 1 1 +m
1−m m 2
∈M3(R)
dépendant d'un paramètrem∈R.
1. Calculer le polynôme caractéristique deCm. Indication : on trouvera une racine m+ 2. 2. Montrer que si m6=−1 alorsCm est diagonalisable.
3. Montrer queC−1 n'est pas diagonalisable, mais trigonalisable surR.
4. Expliciter une matriceP ∈Gl3(R) telle queP−1C−1P soit sous forme de Jordan.
Barême indicatif : (2+2+2+1)+(2+2+2+1)+(2+1+1+2)
