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Contrôle n˚1
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées
I) 5 points
Soitf la fonction définie surRparf(x) = 1 1 +x+x2.
1. Déterminer la tangente à la courbe def au point d’abscisse 0
2. Déterminer la position de la courbe par rapport à la courbe de la fonction x7→ −x+ 1
3. Cette question est à traiter sans calculatrice
En utilisant l’approximation affine de f au voisinage de 0, calculer une valeur approchée de 1
1,0101
Déterminer si cette valeur est approchée par défaut ou par excès (expliquer).
II) 5 points
Soitf une fonction définie et dérivable sur ]0; +∞[ telle que f0(x) = 1
x, et telle que f(1) = 0.
1. Soitg(x) = f(x)
x . Calculerg0(x)
2. On supposera qu’il existe un nombre atel quef(a) = 1. Démontrer queg admet un extremum en a. Est-ce un maximum ou un minimum ? (expliquer)
3. Soith(x) = exp(f(2x)).
En utilisant la dérivée d’une fonction auxiliaire, démontrer que hest une fonction linéaire, et déterminer cette fonction.
III) 5 points
1. Démontrer que, pour toutxréel,e−2x>−2x+ 1
2. Soitg(x) =e−2x−1 + 2x−2x2.
Etudier le sens de variation de g (on pourra utiliser le résultat de la question précédente).
En déduire la position relative des courbes des fonctions x7→e−2xet x7→1−2x+ 2x2
3. En utilisant ce qui précède, démontrer que0,98est une valeur approchée par défaut dee−0,02à moins de2×10−4 près (sans calculere−0,02 à la calculatrice).
IV) 5 points
Les trois questions sont indépendantes.
1. En posantX=ex, résoudre l’inéquation2e−x−ex−1>0 2. Question de type ROC
Dans cette question, les seules propriétés connues de l’exponentielle sont supposées être :exp0= exp, etexp(0) = 1.
Démontrer que, pour toutxréel,exp(x)×exp(−x) = 1 En déduire queexpne s’annule jamais.
3. Soit f une fonction dérivable sur R telle que f0(x) = −f(x) + 2 pour tout x, f(0) = 3, et telle quef0 ne s’annule jamais.
SoitF(x) = 1 f(x)−2.
CalculerF0(x)et en déduire la formule deF, puis celle def.
