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Contrôle n˚2
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées
I) 3 points
1. Déterminer l’ensemble des points M d’affixez6= 2 tels que z z−2 =i 2. Déterminer l’ensemble des points M d’affixez 6= 2 tels que z
z−2 est imaginaire pur (décrire cet ensemble géométriquement).
II) 5 points
Les questions 1 et 2 sont indépendantes
1. Déterminer les nombres complexesz tels quez2=−z.
2. a) Mettrez2+z+ 1sous forme canonique (en considérantz2+zcomme le début du développement d’un carré).
En déduire les solutions dansCde l’équationz2+z+ 1 = 0
b) Calculer(z−1)(z2+z+ 1)et en déduire les racines cubiques de 1 dansC. Démontrer que les points images de ces racines dans le plan complexe forment un triangle équilatéral.
III) 6 points
Les questions 1 et 2 sont indépendantes
1. SoitAle point d’affixe3i etB le point d’affixe1 +i.
Le pointC est tel queABC soit un triangle isocèle rectangle direct enC.
SoitD l’image deApar l’homothétie de centre Cet de rapport√ 3.
SoitE le milieu de[BD].
a) Calculer les affixes des pointsC, Det E.
Faire un dessin (unité : au moins 1 cm)
b) Que peut-on conjecturer pour le triangle BCE? Démontrer cette conjecture
2. SoitABC un triangle rectangle enA, direct, tel que4BC= 5AB a) Par un raisonnement géométrique, calculerk= AC
AB.
b) Dans cette question, on suppose que les affixes deAetB sont : a=−2 +iet b= 3−3i.
Calculer l’affixe de c (si vous n’avez pas trouvé k à la question précédente, vous pouvez donner une réponse en fonction de la variablek)
IV) 6 points
SoitAun point quelconque du plan. Soitz l’affixe deA,A0 le point d’affixez0=z−i, etA00le point d’affixez00=iz.
SoitV le point d’affixei.
1. Soittla translation de vecteur d’affixeiet rla rotation de centreO et d’angle π
2. Déterminer la formule complexe def =r◦t.
Vérifier queA00=f(A0). pour tout pointAdu plan.
2. Déterminer la nature def et ses éléments géométriques (en écrivant f sous forme d’une seule transformation simple et pas d’une composée).
3. Démontrer que, si A est sur le cercle de diamètre [OV] alors O, A0 et A00 sont alignés. On pourra utiliser l’équation du cercle.
4. Faire un dessin (unité : 4 cm) avecA d’affixe
√2 4 +i
√2 4 +1
2
! .
Mettre en évidence sur ce dessin les résultats des questions 2 et 3 précédentes en explicitant ce que vous observez.
