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Contrôle n˚4
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées.
I) 5 points
Soitula suite définie surN∗ paru1= 1
2 etun+1= 1 2
1 + 1
n
un.
1. Démontrer par récurrence que0< un6 2
n pour toutn>3.
2. Etudier le sens de variation deu(il n’est pas nécessaire de faire une démonstration par récurrence).
3. Calculer2n×un pourn∈ {1,2,3,4,5}.
En observant les résultats, conjecturez une formule directe pourunet démontrez-la.
II) 7 points
Trois questions indépendantes 1. Soitz=p
2−√ 2 +ip
2 +√ 2
a) Calculerz2 et en donner une forme exponentielle.
En déduire une forme exponentielle dez b) En déduire la valeur decos(3π/8)
2. SoitAle point d’affixea=e−iπ/6et B le point d’affixeb=e5iπ/3 Déterminerc tel que a−b
c−b =−ei2π/3.
En déduire la forme et l’orientation du triangle ABC. Faire une figure.
3. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct(O;−→u ,−→v) SoitAle point d’affixe1−i√
3,Ble point d’affixe1 +ietCle point d’affixe1−√ 3 a) Calculer l’angle −→
OA,−−→ OB
(valeur exacte, sans supposer connus des cosinus ou sinus d’angles non usuels).
b) Démontrer que zB
zC−zA est un imaginaire pur.
c) En déduire queOest l’orthocentre du triangleABC(point d’intersection des hauteurs).
III) 3 points
On définit une suite de la manière suivante : u0= 0.
Pourn>0,un+1 se trouve au tiers du segment[un; 1]à partir deun.
u•0 •
u1 •
u2 •
1
1. Soitvn=un+1−un. Démontrer quevest une suite géométrique 2. En déduire la formule directe devn puis celle deun
3. En déduire la limite deun
IV) Spécialité. 5 points
Trois questions indépendantes
1. Déterminer l’ensemble desnentiers naturels tels que PGCD(n2+2n+25;n+2) = 5 2. Déterminer l’ensemble des couples(x;y)d’entiers de Ztels que8x−5y= 1 3. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
a) « Sinest un entier naturel congru à 1 modulo 7, alors le PGCD de3n+ 4et de4n+ 3 est égal à 7. »
b) « S’il existe deux entiers relatifsuet v tels queau+bv= 2, alors le PGCD deaetbest égal à 2. »
c) « Si PGCD(3x+y; 2x+ 3y) = 5alorsxest divisible par 5 »
