Contrôle n˚1 page 1 de 1
Contrôle n˚1
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées.
I) 2 points
Soitf(x) = 2e4x+ex 2e−2x+ 4ex.
Déterminer deux constantesket atelles quef(x) =keax pour toutxréel.
II) 4 points
Soitf(x) = x x−ex
1. Démontrer que, pour toutxréel,ex>x+ 1.
En déduire le domaine de définition de f
2. Etudier la position de la courbe def par rapport à sa tangente en 0.
On pourra utiliser la question précédente.
III) 4 points
Soitf une fonction définie et dérivable sur]0; +∞[telle quef0(x) = 1
xetf(e) = 1.
a) Démontrer que, pour tout xréel, exp(f(x)) =x(on pourra étudier un quo- tient).
En déduire la valeur exacte def(2).
b) Soitg(x) = f(x) x .
Calculerg0(x)et démontrer queg admet un extremum ene.
Quelle est sa nature (maximum ou minimum) ?
IV) 4 points
a) Si f est une fonction dérivable et aun réel, rappeler la formule de l’approxi- mation affine de f(x)pourxvoisin dea.
Appliquer cette formule pour donner l’approximation affine u(h) de √ 1 +h pourhvoisin de 0.
b) Soite(h)l’erreur commise lors de l’approximation affine précédente, c’est-à- diree(h) =u(h)−√
1 +h.
Démontrer que06e(h)6 1
8h2pour h>0.
(utiliser l’expression conjuguée, minorer le dénominateur).
V) 6 points
Dans cet exercice de type ROC, on suppose seulement connu que exp est l’unique fonction dérivable surRtelle queexp0= expetexp(0) = 1.
Les trois questions sont indépendantes 1. Démontrer queexpne s’annule jamais.
Pour cela, on utilisera la fonctiong:g(x) = exp(x) exp(−x) 2. Dans cette question, on suppose de plus connu queexp(x)>0.
Soitf(x) =p
exp(−x). Démontrer que, pour toutxréel, f00(x) =1 4f(x) 3. Soitf une fonction dérivable surRtelle quef0(x) = 2f(x) + 2et f(0) = 0.
On poseF(x) =fx 2
+ 1.
ComparerF0 etF et en déduire l’expression deF(x), puis celle def(x).
