Durée : deux heures. Calculatrices autorisées

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Contrôle n˚5

Durée : deux heures. Calculatrices autorisées

I) 5 points

Soitf la fonction définie sur]0; +∞[parf(x) =1 2

x+3

x

. Soitula suite définie paru0= 4 etun+1=f(un).

1. Démontrer queuest minorée par√ 3.

2. Déterminer le sens de variation deu.

3. a) Etudier la position relative de la courbe def et de la droite d’équation y= x

2 +

√ 3

2 sur]0; +∞[

b) Démontrer par récurrence que, pour toutn>0,un6 3 2ⁿ +√

3 c) Déterminer la limite deun lorsquentend vers+∞(justifier).

II) 5 points

Soitf la fonction définie surRparf(x) = x² 2^x

1. Démontrer quef a un sens de variation correspondant au tableau suivant et déter- miner les intervalles de monotonie :

x −∞ +∞

f(x)

2. Déterminer les limites def en−∞et en+∞(justifier en se ramenant précisément à des limites du cours)

3. a) Déterminer le nombre de solutions de l’équationf(x) = 1 b) Résoudre l’inéquationx²>2^x

III) 5 points

Soitf la fonction définie surRparf(x) =1 2x−1 Soitula suite définie par u₀=−4 etu_n+1=f(u_n).

Soitvla suite définie par v₀= 0et v_n+1=f(v_n).

1. Sur un dessin (unité 2 cm ou deux grands carreaux), tracer la courbe de la fonction f et construire graphiquement les quatre premiers termes de chaque suite (indices de 0 à 3). Expliquer comment on fait la construction.

D’après le dessin, quelles conjectures peut-on faire sur les suitesuet v concernant leur sens de variation et leur convergence ?

2. Démontrer que toute suitew qui vérifiew_n+1=f(w_n)est monotone.

En déduire les sens de variations deuet dev.

3. Démontrer que la suitev−uest une suite géométrique En déduire queuetv sont convergentes.

4. On appelleL la limite deu. Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels que [u_n;v_n]soit un encadrement deLd’amplitude inférieure à10⁻⁶

IV) Spécialité : 5 points

Les questions sont indépendantes

1. Démontrer que, pour tout entier relatifn, PGCD(5n+ 3,2n−1) = 1ou 11.

En déduire qu’il existe un seul entier relatifntel que PPCM(5n+ 3,2n−1) = 33 2. a) Soitxun entier naturel non multiple de31.

Démontrer l’équivalence suivante :x⁷≡y [31] ⇔ x≡y¹³ [31]

(utiliser le petit théorème de Fermat)

b) Soitpun nombre premier, etxun entier naturel non multiple dep.

Démontrer l’équivalence :x^p−2≡y [p] ⇔ x≡y^p−2 [p].