Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées

Contrôle n˚2 page 1 de 1

Contrôle n˚2

Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées

I) 6 points

Les trois questions sont indépendantes.

1. Résoudre dansCl’équation z²=−2i

2. Déterminer l’ensemble des zcomplexes tels que z²=i z

3. On pose, pour nentier naturel,sn = 1−i+i²−i³+i⁴−i⁵+· · ·+ (−1)ⁿiⁿ (les signes +et −alternent régulièrement). Par convention, on pose s0= 1.

a) Donner une formule directe des_n en utilisant une suite géométrique.

b) En déduire l’ensemble des entiers naturelsntels quesn=−i

II) 5 points

SoitAle point d’affixea= 1 +√

3 +i(1 +√

3)et B le point d’affixeb= 2i.

On fera une figure représentant tous les éléments de l’exercice.

1. DéterminerC tel queABC soit un triangle isocèle rectangle direct enC(calculer l’affixec deC)

2. DéterminerD, image deApar l’homothétie de centre Cet de rapport√ 3.

Vérifier que l’affixe deD est d= 2√ 3 + 4i 3. SoitE le milieu de[BD],d’affixee.

Calculer c−b

c−e. En déduire la nature du triangleBCE.

III) 4 points

Soit A le point d’affixe −i. Soit M un point d’affixe z, N tel que M OAN soit un parallélogramme,P tel que OM P soit un triangle rectangle isocèle en O, direct.

1. Déterminer en fonction de zl’affixendeN et l’affixe pdeP. 2. Déterminer l’ensembleE des pointsM d’affixez6= 0 tels que z−i

iz soit un réel.

Comment sont disposés les pointsN, Oet P lorsqueM parcourt cet ensemble E? Faire une figure qui illustre cette propriété (prendre une unité assez grande).

IV) 5 points

Les deux questions sont indépendantes.

1. Soitula suite définie paru0= 1et un+1= un

2un+ 1. On admettra que cette suite est bien définie pour tout n entier > 0. On se propose de calculer une formule directe pourun.

a) Soitv_n= 1 un

. Calculeru₀, u₁, u₂, u₃ puisv₀, v₁, v₂, v₃. Vérifier quev₃= 7.

Quelle semble être la nature de la suitev?C’est une conjecture qui repose sur la justesse des calculs précédents. Vérifiez-les bien.

Démontrer cette conjecture.

b) En déduire la formule directe deun. 2. Soitula suite définie paru0= 0etun+1=−1

2un+ 1.

Soitvn=un−2 3

Démontrer quevest une suite géométrique et en déduire la limite deu.