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Contrôle n˚1
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées.
I) 4 points
Soitf une fonction définie et dérivable surRtelle quef0 =f et f(0) = 3 1. Soitg(x) =x2f(1−x).
Démontrer que la tangente au point d’abscisse 1 à la courbe degpasse par l’origine.
2. Soith(x) = f(x)
3 . Comparerheth0 et calculerh(0).
En déduire la formule de f.
II) 4 points
Soitf la fonction définie parf(x) = 1−e−4x e3x−e−x 1. Quel est le domaine de définition def? 2. Démontrer quef
−1 3
=e
3. Démontrer qu’il existe une constante a telle que f(x) = eax pour tout x du do- maine de définition def (on pourra d’abord conjectureraen utilisant la question précédente).
III) 6 points
Soitf une fonction définie et dérivable sur]0; +∞[telle quef0(x) = 1
x etf(e) = 1.
1. Soitg la fonction définie sur]0; +∞[parg(x) =f(x) x . Calculerg0(x)(en fonction de f(x))
Démontrer queg admet un maximum ene.
2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse e.
Déterminer la position de la courbe de f par rapport à cette tangente.
On pourra utiliser le résultat de la question précédente, mais ce n’est pas la seule méthode possible
3. (question indépendante)Démontrer queexp(f(x)) =xpour toutxréel (on pourra étudier un quotient).
IV) 6 points
Cet exercice est à faire sans calculatrice Soitf la fonction définie surRparf(x) =e2x
1. Question indépendante des autres.
On admettra qu’il existeatel quef(a) = 8. Calculer (sans calculatrice) la valeur exacte def
4a
3
2. Déterminer la formule de l’approximation affine def(x)pourxvoisin de 0.
En déduire, sans calculatrice, une valeur approchéev def(0,01).
3. Soitg(x) =e2x−1−2x−2x2.
Calculer la dérivée seconde deg et en déduire le signe deg0 puis celui deg.
4. Démontrer quef(x)−1−2x−5x2<0pourx= 1 2.
On admettra quef(x)−1−2x−5x2<0 pour toutxde]0; 1[
En déduire, sans calculatrice, un encadrement def(0,01)−v, d’amplitude stricte- ment inférieure à5×10−4
