Centrale Maths 2 PSI 2013 — Énoncé
1 / 4
2013
Mathématiques 2
PSI
4 heures Calculatrices autorisées
Exponentielle de matrices
Le but du sujet est d’étudier l’exponentielle de matrices, réelles ou complexes.
Dans tout le sujet,pdésigne un entier naturel non nul.
SiKdésigne un corps,RouC, on adopte les notations suivantes :
− K[X]est l’ensemble des polynômes à coefficients dansK.
− Kp[X]est l’ensemble des polynômes à coefficients dansKde degré au plusp.
− Mp(K)est l’ensemble des matrices carrées d’ordrepà coefficients dansK.
− Ipest la matrice identité deMp(K).
− Une matriceA∈Mp(K)est dite antisymétrique sitA=−A.
− GLp(K)est l’ensemble des matrices inversibles deMp(K).
− On notetrl’application trace etdetl’application déterminant.
− Op(R)est l’ensemble des matrices orthogonales à coefficients dansRet d’ordrep.
− SOp(R)est l’ensemble des matrices deOp(R)de déterminant1.
− On munitMp(K)de la norme quadratique‖·‖2définie par
∀A= (ai,j)1i,jp∈Mp(K),‖A‖2=
p
i=1 p
j=1
|aij|2=
tr(tAA)¯
et on munitMp(K)de la structure d’espace vectoriel normé associée.
− SiAest une matrice deMp(K), on noteuAl’endomorphisme deKpcanoniquement associé à la matriceA et, par abus de notation,KerA=KeruA.
− SiAest une matrice deMp(K)on définit, lorsque la limite existe, E(A) = lim
n→∞
Ip+1
nA n
− LorsqueK=Ron munitRpde sa structure canonique d’espace euclidien.
I Question préliminaire
Soitz∈C.
On posez=a+ib, oùa, b∈R.
I.A – Soitn∈N∗. Déterminer le module et un argument de 1 +z
n
n
en fonction dea,betn.
I.B – En déduire que
n→∞lim 1 +z
n
n=ez
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
Centrale Maths 2 PSI 2013 — Énoncé
2 / 4
II Matrices antisymétriques réelles d’ordre 2 ou 3
II.A – Matrices antisymétriques d’ordre2
Soitn∈N∗. SoitA∈M2(R)une matrice antisymétrique. On poseA= 0 −α
α 0
oùα∈R.
II.A.1) Déterminer un nombreβn∈R∗ +tel que
1 βn
I2+1
nA
∈SO2(R)
II.A.2) Déterminer un nombre réelθntel que 1 βn
I2+1
nA
=
cosθn −sinθn
sinθn cosθn
II.A.3) En déduire queE(A)existe et que c’est une matrice de rotation, dont on précisera l’angle.
II.B – Matrices antisymétriques d’ordre3
II.B.1) SoitB∈M3(R)antisymétrique.
a) Montrer quedetB= 0.
b) Montrer que(KeruB)⊥est stable paruB. c) En déduire queBest de rang0ou2.
II.B.2) Montrer qu’il existe une matriceP deO3(R)et un réelβtels que
B=P
0 0 0
0 0 −β
0 β 0
P−1
II.B.3) Montrer que lorsque l’égalité de la question précédente est vérifiée, on a|β|=‖B‖2
√2.
II.B.4) Montrer queE(B)existe et est une matrice de rotation. Préciser la valeur de son angle non orienté en fonction de‖B‖2.
III Exponentielle de matrices diagonalisables
III.A – Cas des matrices diagonales
SoitD∈Mp(K)une matrice diagonale.
III.A.1)Montrer queE(D)existe et queE(D)∈GLp(C).
III.A.2)Montrer qu’il existe un polynômeQ∈C[X]tel queQ(D) =E(D).
III.A.3)Soit(Δ,+)le sous-groupe additif deMp(R)formé par les matrices diagonales.
Montrer queEdéfinit un morphisme de groupe de(Δ,+)dans(GLp(R),×).
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
Centrale Maths 2 PSI 2013 — Énoncé
3 / 4
III.B – Existence et propriétés deE(A)lorsqueAest diagonalisable
SoitA∈Mp(K)une matrice diagonalisable.
III.B.1)Montrer queE(A)existe.
III.B.2)Montrer quedet(E(A)) =etr(A). III.B.3)Soitx∈C.
Montrer queE(xIp+A)existe et que
E(xIp+A) =exE(A) III.C – Exponentielle de la somme
SoientA, B∈Mp(K)deux matrices diagonalisables. On suppose queAetBcommutent.
III.C.1)Montrer qu’il existeP∈GLp(C)telle queP−1AP etP−1BP soient diagonales.
On étudiera les restrictions deuBaux sous-espaces propres deuA.
III.C.2)En déduire queE(A+B)existe et queE(A+B) =E(A)E(B) =E(B)E(A).
IV Exponentielle de matrices nilpotentes
SoitA∈Mp(C)etk∈N∗tel queAk= 0etAk−1= 0(on dit queAest nilpotente d’ordrek). Soit également B∈Mp(C).
IV.A –
IV.A.1) Montrer que, pour tout entierjtel que1jk,KerAj−1est inclus strictement dansKerAj. IV.A.2) En déduire quekp.
IV.B – Montrer queE(A)existe. Proposer une procédureMapleouMathematicaprenant en entrée une matrice triangulaire supérieure stricteAet renvoyant la valeur deE(A).
IV.C – Montrer qu’il existe un polynômeQ∈C[X]tel queQ(A) =E(A).
IV.D – SoitB∈Mp(C). On suppose queAetBcommutent et queE(B)existe.
On admet que, pour tout entiericompris entre 1 etp,
nlim→∞
Ip+1
nB n
= lim
n→∞
Ip+1
nB n−i
Montrer queE(A+B)existe et queE(A+B) =E(A)E(B).
IV.E – Soitx∈C.
Montrer queE(xIp+A)existe et queE(xIp+A) =exE(A).
IV.F – Montrer queE(A)−Ipest nilpotente.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
Centrale Maths 2 PSI 2013 — Énoncé
4 / 4
V Cas général
SoitA∈Mp(C)etn∈N∗. On note
Pn(X) =
1 +X n
n
∈C[X]
etχAle polynôme caractéristique deAdéfini par
χA(X) = det(A−XIp)
V.A – Liens avec le polynôme caractéristique
V.A.1) Montrer qu’il existe un unique couple(Qn, Rn)∈C[X]×Cp−1[X]tel que Pn=QnχA+Rn
V.A.2) Montrer queE(A)existe si et seulement si lim
n→∞
Rn(A)existe.
V.A.3) Soientk∈N∗etλ1,λ2,. . .,λkles racines deχAdeux à deux distinctes, dont on noten1, n2,. . ., nkles ordres de multiplicité respectifs.
Pour tout entierqcompris entre 1 etp, on noteJqla matrice deMq(C)dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés juste au-dessus de la diagonale qui valent1.
Montrer que, pour toutx∈C, pour tout entierqcompris entre 1etp, la famille{(xIq+Jq)i, 0iq−1}
est libre.
V.A.4) SoitB= diag{λ1In1+Jn1,. . .,λkInk+Jnk}la matrice diagonale par blocs définie par
B=
λ1In
1+Jn
1 0 . . . 0
0 λ2In2+Jn2 . . . 0
... . .. . .. 0
0 . . . 0 λkInk+Jnk
Montrer queχB=χA.
V.B – Convergence deE(A)
V.B.1) Soitiun entier1.
Montrer que
Bi=
(λ1In1+Jn1)i 0 . . . 0
0 (λ2In2+Jn2)i . . . 0
... . .. . .. 0
0 . . . 0 (λkInk+Jnk)i
V.B.2) SoitP un polynôme annulateur non nul de la matriceB.
a) Montrer que le degré deP estp.
b) En déduire que la famille{Bi,0ip−1}est libre.
V.B.3) Montrer que lim
n→∞Pn(B)existe.
V.B.4) En déduire queE(A)existe.
• • •FIN• • •
