4 heures Calculatrices autorisées

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Mathématique 2

PC

4 heures Calculatrices autorisées

Notations

− Dans tout le problème, n est un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2.

− On note M n,p ( R ) l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes et à coefficients réels.

− En particulier, M n,1 ( R ) désigne l’ensemble des matrices colonnes à n lignes et à coefficients réels. Selon l’usage, on pourra librement identifier les espaces vectoriels M n,1 ( R ) et R ⁿ .

− On note M i,j le coefficient sur la i-ème ligne et j-ème colonne d’une matrice M .

− L’espace M n,1 ( R ) est muni de sa structure euclidienne usuelle. En particulier, si (V, W ) ∈ M n,1 ( R ) ² , on pose

hV, W i =

n

X

i=1

V i,1 W i,1 et kV k 2 =

n

X

i=1

V _i,1 ²

! 1/2

− La notation ^t M désigne la transposée d’une matrice M , rg(M ) son rang et, lorsque M est carrée, tr(M ) sa trace. On rappelle que tr(AB) = tr(BA) pour tout A ∈ M k,l ( R ) et B ∈ M l,k ( R ).

− On note également O n ( R ) le groupe des matrices orthogonales d’ordre n, O ⁺ _n ( R ) le sous-groupe de O n ( R ) for- mé des matrices de O n ( R ) de déterminant positif et O ⁻ _n ( R ) l’ensemble des matrices de O n ( R ) de déterminant négatif.

− Par définition, une rotation est un automorphisme orthogonal de l’espace M n,1 ( R ) de déterminant 1.

Objectif du problème

On se donne des vecteurs X 1 , . . . , X m , Y 1 , . . . , Y m de M n,1 ( R ), et on cherche à déterminer, si c’est possible, une rotation r de M n,1 ( R ) telle que

r(X _i ) = Y _i pour 1 6 i 6 m Cela revient à déterminer une matrice W ∈ O ⁺ _n ( R ) réalisant

W X i = Y i pour 1 6 i 6 m

Sans hypothèse sur les vecteurs X i et Y i , une telle rotation n’a pas de raison d’exister, ni d’être unique. C’est pourquoi on s’intéressera plutôt, dans la suite, au problème plus faible suivant : trouver une matrice W ∈ O _n ⁺ ( R ) minimisant la quantité P m

i=1 kW X i − Y i k ² ₂ , autrement dit telle qu’en un sens les W X i soient « aussi proches que possible » des Y i .

I Questions préliminaires

I.A – Généralités sur les matrices orthogonales

I.A.1) Quel est le déterminant d’une matrice de O _n ⁺ ( R ) ? de O _n ⁻ ( R ) ? On justifiera les réponses.

I.A.2) O _n ⁻ ( R ) est-il un sous-groupe de O n ( R ) ?

I.A.3) Montrer que les valeurs absolues des coefficients d’une matrice orthogonale sont inférieures ou égales à 1.

I.B – Un exemple numérique Dans cette section, n = m = 2. On pose

X 1 = 2 0

!

, X 2 =

√ 2

√ 2

!

, Y 1 =







 1

√ 2 3 2









, Y 2 =









− 1

√ 2 3 2









On introduit les affixes respectives des vecteurs X ₁ , X ₂ , Y ₁ , Y ₂ : α 1 = 2, α 2 = √

2 + i √

2, β 1 = 1 2 + i

√ 3

2 , β 2 = − 1 2 + i

√ 3

2

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I.B.1) Exprimer ces affixes sous forme trigonométrique puis simplifier pour tout réel θ la quantité f (θ) = |β 1 − e ^iθ α 1 | ² + |β 2 − e ^iθ α 2 | ²

I.B.2) Déterminer les valeurs de θ qui minimisent f (θ). Illustrer le résultat par un dessin.

II Un problème d’optimisation

Dans cette partie, on fixe des éléments X ₁ , . . . , X _m , Y ₁ , . . . , Y _m de M n,1 ( R ), et on se propose d’obtenir une matrice W ∈ O n ( R ) minimisant P m

i=1 kW X i − Y _i k ² ₂ et, dans certains cas, une matrice W ∈ O ⁺ _n ( R ) minimisant P m

i=1 kW X i − Y _i k ² ₂ .

Dans toute cette partie, on note X (respectivement Y ) la matrice de M n,m ( R ) dont les colonnes sont X 1 , . . . , X m

(respectivement Y 1 , . . . , Y m ).

II.A – Un produit scalaire matriciel II.A.1) Montrer que l’application

M n,m ( R ) ² → R , (M, N) 7→ tr(( ^t M )N) est un produit scalaire sur M n,m ( R ). On pose désormais

hM, Ni F = tr(( ^t M )N) et kM k F = hM, M i ^1/2 _F II.A.2) Montrer que, pour toute matrice W ∈ M _n ( R ), on a

m

X

i=1

kW X _i − Y _i k ² ₂ = kW X − Y k ² _F

II.A.3) Simplifier hW M, W N i F et kW Mk F pour W ∈ O n ( R ) et (M, N ) ∈ M n,m ( R ) ² . II.A.4) Simplifier aussi hM W, N W i _F et kM W k _F pour W ∈ O _m ( R ) et (M, N) ∈ M _n,m ( R ) ² . II.B – Dans cette section, on suppose que m = n.

II.B.1) Calculer kW k F pour W ∈ O n ( R ).

II.B.2) Montrer que si une suite (M k ) k∈ N d’éléments de O n ( R ) converge vers M ∈ M n ( R ), alors M ∈ O n ( R ) et en déduire que O n ( R ) est une partie fermée de M n ( R ).

II.B.3) Montrer que O n ( R ) est une partie compacte de M n ( R ).

II.C – Dans cette section, m et n ne sont plus supposés égaux.

II.C.1) Justifier l’existence d’une matrice W ∈ O n ( R ) minimisant kW X − Y k ² _F , c’est-à-dire vérifiant

∀Z ∈ O n ( R ), kW X − Y k ² _F 6 kZX − Y k ² _F

II.C.2) Montrer que les matrices W ∈ O n ( R ) minimisant kW X − Y k ² _F sont les matrices W ∈ O n ( R ) maximisant hW X, Y i _F .

II.C.3) Déterminer à l’aide de X et Y une matrice A ∈ M n ( R ) telle que, pour toute matrice W ∈ O n ( R ), hW X, Y i _F = hW, Ai _F

II.D – Dans cette section, ∆ désigne une matrice diagonale d’ordre n à coefficients positifs.

II.D.1) Déterminer une matrice W ⁰ ∈ O _n ( R ) maximisant hW ⁰ , ∆i _F .

II.D.2) On suppose de plus que les coefficients diagonaux de la matrice ∆ vérifient :

∆ _1,1 > . . . > ∆ _r,r > 0 et ∆ _i,i = 0 pour r + 1 6 i 6 n

(avec éventuellement r = n dans le cas où tous les coefficients diagonaux de ∆ sont non nuls). Déterminer toutes les matrices W ⁰ ∈ O n ( R ) maximisant hW ⁰ , ∆i F .

II.E – Dans cette section, on admet que A peut s’écrire sous la forme Q∆( ^t P) avec (Q, P ) ∈ O _n ( R ) ² et ∆ ∈ M n ( R ) diagonale avec des coefficients diagonaux vérifiant ∆ _1,1 > . . . > ∆ _n,n > 0. Ce résultat sera démontré dans la partie III.

II.E.1) Déterminer à l’aide de P et Q une matrice W ∈ O n ( R ) maximisant hW, Ai F , et appartenant à O ⁺ _n ( R ) si et seulement si det P · det Q > 0.

II.E.2) Montrer que si det A > 0, il existe une unique matrice W ∈ O _n ⁺ ( R ) maximisant hW, Ai _F , au sens où

∀Z ∈ O ⁺ _n ( R ), hW, Ai F > hZ, Ai F

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II.E.3) Dans cette question, on suppose que ∆ n,n = 0. Déterminer une matrice W ⁰ ∈ O ⁻ _n ( R ) maximisant hW ⁰ , ∆i F .

II.E.4) Dans cette question, on suppose que det A = 0 et que det P · det Q < 0. Déduire de la question précédente une matrice W ∈ O ⁺ _n ( R ) maximisant hW, Ai F .

III Une décomposition matricielle

L’objectif de cette partie est d’établir le résultat admis dans la partie précédente.

Soit M ∈ M _n,p ( R ) de rang r > 1.

III.A – Soit B = ( ^t M )M .

III.A.1) Montrer que B est une matrice symétrique réelle. Que peut-on en déduire ?

III.A.2) Montrer que B est positive, c’est-à-dire que pour tout V ∈ M p,1 ( R ), ( ^t V )BV > 0. En déduire que les valeurs propres de B sont positives.

III.A.3) Montrer que ker B = ker M . En déduire que rg(B ) = r. (M étant une matrice de M n,p ( R ), on pose ker M = {X ∈ M p,1 ( R ), M X = 0}.)

III.B – Dans la suite de cette partie, on note :

− f l’application linéaire de R ^p dans R ⁿ canoniquement associée à M ,

− g l’endomorphisme de R ^p canoniquement associé à B,

− λ ₁ , . . . , λ _p les valeurs propres (distinctes ou non) de g rangées par ordre décroissant : λ 1 > λ 2 > . . . > λ r > 0 = λ r+1 = . . . = λ p

− et enfin (v ₁ , . . . , v _p ) une base orthonormée de R ^p formée de vecteurs propres de g associés respectivement aux valeurs propres λ ₁ , . . . , λ _p .

III.B.1) On pose µ _i = √

λ _i pour 1 6 i 6 p et u _i = _µ ¹

i

f (v _i ) pour 1 6 i 6 r. Montrer que (u ₁ , . . . , u _r ) est une base orthonormée de Im(f ).

III.B.2) Soit ∆ = (∆ i,j ) ∈ M n,p ( R ) la matrice dont les seuls coefficients non nuls sont ∆ 1,1 , . . . , ∆ r,r qui valent µ 1 , . . . , µ r . Montrer qu’il existe Q ∈ O n ( R ) et P ∈ O p ( R ) telles que

M = Q∆P ⁻¹ = Q∆( ^t P )

IV Sur la trace des matrices orthogonales

Dans cette partie, on étudie la trace maximale d’une matrice de O _n ⁻ ( R ), ce qui va permettre d’aboutir dans les cas laissés en suspens dans la partie II à une matrice W ∈ O ⁺ _n ( R ) minimisant P m

i=1 kW X i − Y i k ² ₂ . IV.A –

IV.A.1) Déterminer la trace maximale d’une matrice de O n ( R ).

IV.A.2) Soit E un espace vectoriel euclidien, et w un automorphisme orthogonal de E. Justifier que les seules valeurs propres possibles pour w sont 1 et −1.

IV.A.3) Montrer que −1 est valeur propre de toute matrice W ∈ O ⁻ _n ( R ).

IV.A.4) Montrer que si F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien E, stable par un automorphisme orthogonal w de E, alors l’orthogonal de F est aussi stable par w.

IV.A.5) Montrer que pour tout W ∈ O ⁻ _n ( R ), il existe P ₁ ∈ O n ( R ) et W ₁ ∈ O _n−1 ⁺ ( R ) tels que

W = P 1

−1 0 _1,n−1 0 n−1,1 W 1

! ( ^t P 1 )

où 0 k,l désigne la matrice nulle dans M k,l ( R ).

IV.A.6) Conclure sur la trace maximale d’une matrice de O ⁻ _n ( R ).

IV.B – On rappelle que minimiser P m

i=1 kW X i − Y _i k ² ₂ revient à maximiser hW, Ai F avec A ∈ M n ( R ) une certaine matrice qui peut s’écrire sous la forme Q∆( ^t P ) avec (P, Q) ∈ O n ( R ) ² et ∆ ∈ M n ( R ) diagonale, à coefficients diagonaux vérifiant

∆ 1,1 > . . . > ∆ n,n > 0

IV.B.1) Déterminer une matrice W ⁰ ∈ O ⁻ _n ( R ) maximisant hW ⁰ , ∆i F en commençant par écrire hW ⁰ , ∆i F à l’aide de tr(W ⁰ ) et des coefficients W _i,i ⁰ , pour 1 6 i 6 n − 1.

IV.B.2) En déduire, lorsque det P · det Q < 0, une matrice W ∈ O ⁺ _n ( R ) maximisant hW, Ai F .

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V Calcul numérique

Dans cette partie, on étudie un algorithme permettant de calculer de manière approchée une matrice W ∈ O _n ⁺ ( R ) minimisant P m

i=1 kW X i − Y i k ² ₂ pour certaines matrices Y . V.A – Étude d’une suite de réels

On considère E l’ensemble des suites (x _k ) _{k∈ N} de réels vérifiant : x ₀ > 0 et x _k+1 = x _k · x ² _k + 3

3x ² _k + 1 pour k ∈ N

V.A.1) Écrire une instruction en Maple ou Mathematica permettant de calculer les trente premiers termes de la suite (x k ) _{k∈ N} ∈ E telle que x 0 = 0,1.

V.A.2) Représenter graphiquement le comportement d’une suite (x _k ) _{k∈ N} ∈ E pour un x ₀ > 0 quelconque.

On effectuera les calculs nécessaires à une représentation soignée.

V.A.3) Démontrer la convergence d’une telle suite et préciser sa limite.

V.B – Étude d’une suite de matrices

On considère F l’ensemble des suites (Z k ) _{k∈ N} de matrices de M n ( R ) vérifiant les deux conditions suivantes : i. Z 0 est inversible ;

ii. Z k+1 = Z k ( ^t Z k Z k + 3I n )(3 ^t Z k Z k + I n ) ⁻¹ pour k ∈ N (I n désigne la matrice identité d’ordre n).

V.B.1) Montrer que pour toute matrice Z ∈ M n ( R ), la matrice 3 ^t ZZ + I n est bien inversible.

V.B.2) Soit (Z _k ) _{k∈ N} ∈ F. D’après la deuxième partie, Z ₀ peut s’écrire sous la forme QD( ^t P ) avec (Q, P ) ∈ O n ( R ) ² et D ∈ M n ( R ) diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs. On définit, pour tout k ∈ N , l’assertion P k ainsi : « Z _k peut s’écrire sous la forme QD _k ( ^t P) avec D _k diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs ». Montrer que pour tout k ∈ N , P k est vraie.

V.B.3) Déterminer la limite de la suite (Z k ) k∈ N . V.C – Une application

On fixe X 1 , . . . , X m des éléments de M n,1 ( R ), et on note X la matrice de M n,m ( R ) dont les colonnes sont X 1 , . . . , X m . On fixe également W 0 ∈ O _n ⁺ ( R ), et on pose Y 0 = W 0 X . On suppose de plus la matrice X de rang n.

V.C.1) Montrer qu’il existe un ouvert U de M n,m ( R ) contenant Y ₀ tel que pour tout Y ∈ U , l’on ait det(Y ( ^t X)) > 0.

V.C.2) Dans le cas où Y ∈ U, quelle valeur donner à Z 0 pour que la suite (Z k ) k∈ N ∈ F converge vers W ∈ O _n ⁺ ( R ) minimisant P m

i=1 kW X i − Y i k ² ₂ ?

• • • FIN • • •