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Contrôle n˚6
Durée : deux heures. Calculatrices autorisées
I) 5 points
Soitf une fonction continue et positive sur [0; 1].
On définit une suiteI par :In= Z 1
0
xnf(x)dxpourn>1.
1. a) Etudier le signe de In+1−In et en déduire que la suiteI est monotone.
b) En déduire que Iest convergente.
2. Dans cette question, on posef(x) = ln(2x+ 1)pourx∈
−1 2; +∞
a) Déterminera, betc tels que x2
2x+ 1 =ax+b+ c
2x+ 1 pour toutxpositif.
b) En déduire Z 1
0
x2 2x+ 1 dx
c) En déduire la valeur deI1 par une intégration par parties.
II) 6 points
Soit les fonctions définies sur[0; +∞[:f(x) = ln(2x+ 1) etg(x) = ex−1 2
1. Calculerf(g(x))etg(f(x)). En déduire une transformation géométrique qui trans- forme la courbe def en celle deg..
2. Tracer les courbes def et gsur[0; 2](unité 2cm).
Sur le dessin, interpréter géométriquement l’intégrale I= Z 1
0
f(x)dx 3. CalculerI en se ramenant à une intégrale deg (utiliser la question 1 ) 4. Autre méthode : calculerI directement, par une intégration par parties.
III) 4 points
1. On tire simultanément trois lettres au hasard dans l’alphabet. Quelle est la proba- bilité vd’obtenir exactement une voyelle ? (expliquer)
Dans la suite, on pourra faire des calculs formels avec v si on n’a pas trouvé la valeur de v.
2. On définit un jeu : le tirage précédent constitue une partie, et on gagne un point si on obtient exactement une voyelles, et aucun point sinon.
Le jeu consiste à jouer 5 parties (en remettant dans l’alphabet les trois lettres tirées après chaque partie) et on accumule les points gagnés.
a) Quelle est la probabilité de gagner au moins 2 points ? b) Quel est le gain moyen à ce jeu ?
IV) Spécialité. 5 points
SoitABCD un carré direct.
Soit E le milieu du segment [AD], etFtel queEDGF soit un carré direct.
A B
D C E G
F
1. Démontrer qu’il existe une unique similitude directesdu plan telle que s(D) = F ets(B) = D.
2. On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directes.
a) Déterminer le rapportket l’angleθde la similitude directes.
b) En choisissant un repère orthonormal direct A;−−→
AB,−−→ AD
donner l’écriture complexe de cette similitude.
c) Déterminer le centreΩde la similitude directes.
3. Déterminer la nature et les éléments des◦s
