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Contrôle n˚4
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées
I) 4 points
On considère l’équation différentielle avec condition initiale :
y0=−5y+ 5 y(0) = 0 1. Résoudre cette équation différentielle. On appelle f la solution.
2. L’approximation def par la méthode d’Euler de pas 0,1définit deux suites par xn= n
10;y0= 0 etyn+1=yn
2 +1 2
a) Justifier ces formules en rappelant le principe de la méthode d’Euler.
b) On poseun=yn−1. Démontrer queuest une suite géométrique et en déduire la formule directe deyn
c) Quelle est la valeur approchée de f(1)par la méthode d’Euler ?
II) 4 points
Une masse d’eau est placée dans un récipient. A l’instantt= 0, la température de l’eau est de 60˚ C, et au bout de 5 minutes, sa température est de 40˚ C.
Soit f la fonction exprimant la température de l’eau en ˚C en fonction du temps t exprimé en minutes. On admet que f est solution d’une équation différentielle de la formey0 =ay+b, oùaetbsont des constantes réelles.
1. On admet que la limite def(t)lorsquettend vers l’infini est un réel (la température ambiante, positive). En déduire les signes deaet deb.
2. Déterminer le sens de variation def.
3. On suppose que la température ambiante est de 20 ˚C. Détermineraetb.
On démontrera quea≈ −0,14etb≈2,77.
III) 6 points
Soitula suite définie par :u0= 1etun+1=
1
2+ 1 2n+ 1
un
1. Démontrer par récurrence que0< un<
3 4
n−3
pour toutn>3
2. Démontrer queuest une suite strictement monotone à partir d’un certain rang.
3. La suiteuest-elle bornée ? Et la suite 1 u? 4. On noteun= xn
yn
sous forme de fraction irréductible (c’est-à-direxn etynpremiers entre eux). Par exemplex0= 1ety0= 1.
a) Calculerxn et yn pour 06n64. On vérifiera que x4= 9et y4= 16 Conjecturer les natures des suitesxety, et la formule directe deun. b) Démontrer la formule deun ainsi conjecturée.
IV) 6 points
1. On dispose d’une urne contenant 4 boules rouges et 3 boules vertes. On tire deux fois de suite dans l’urne (une boule à chaque fois).
Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule rouge dans les cas suivants : a) lorsqu’on tire avec remise ?
b) lorsqu’on tire sans remise ?
2. Dans cette question, on considère le jeu suivant : on lance d’abord un dé (6 faces équiprobables), puis on tire deux fois dans l’urne, suivant un mode de tirage qui dépend du résultat du dé : si on a obtenu un 1 avec le dé, on tire sans remise, et sinon on tire avec remise.
On gagne à ce jeu si et seulement si on a tiré au moins une boule rouge.
a) Représenter le jeu par un arbre de probabilités b) Quelle est la probabilitépde gagner ?
Dans la suite on peut faire des calculs formels avec la notationp
c) Un joueur joue à ce jeu, et il perd. Quelle est alors la probabilité qu’il ait tiré un 1 avec le dé ?
d) On joue maintenant 5 fois de suite à ce jeu, les jeux étant indépendants. Quelle est la probabilité de gagner exactement une fois ?
