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Contrôle n˚5
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées
I) 8 points
Les 4 questions sont indépendantes 1. Calculer lim
n→+∞
pn
1 +n2
2. Soitula suite définie paru0= 2 etun+1=un
√un. Conjecturer le sens de variation deu(expliquez comment).
En admettant cette conjecture, déterminer la limite deu(raisonner par l’absurde).
3. Soitf la fonction définie surRparf(x) = x2 2x Etudier le sens de variation de f et ses limites 4. Soit
O;−→ i ,−→
j
un repère orthonormal du plan et les pointsA(a; 0)etB(0;b).
Soit H le projeté de O sur (BC), K le projeté de H sur l’axe des abscisses etL celui deH sur l’axe des ordonnées.
Démontrer que(KL)est perpendiculaire à(OI), oùI est le milieu de[AB]
II) 6 points
On construit deux suites de pointsP etQsur un axe gradué : P0 d’abscisse 0 et etQ0 d’abscisse 1.
Pn+1est au quart du segment[PnQn]à partir dePn
Qn+1 est le milieu du segment[PnQn]
On appelleun l’abscisse dePn etvn l’abscisse deQn
1. Déterminer les formules de un+1et vn+1 en fonction deun etvn. On vérifiera queun+1= 3un+vn
4
2. a) Démontrer quev−uest une suite géométrique
b) Démontrer queuetv sont adjacentes. Sont-elles convergentes (expliquez) ? Si oui, donnez un encadrement de la limite de ud’une amplitude inférieure à 10−3(justifiez cet encadrement).
3. Soitxn=un+1−un. Démontrer quexest une suite géométrique et en déduire la formule directe deu, puis la limite deu.
III) 6 points
SoitABCD un tétraèdre, avecABC isocèle enC etABDisocèle enD.
SoitIle milieu de[AB],J le milieu de[CD]etH le milieu de[IC].
On supposeICDrectangle enI
A. I.
B. .C
D . H
. .J
1. Démontrer que(AB)est orthogonale à(CD).
2. Démontrer queH est le projeté orthogonal deJ sur le plan(ABC) 3. On suppose maintenant que
I;−→ i ,−→
j ,−→ k
est un repère orthonormal de l’espace, et que les points sont :I(0,0,0),A(1; 0; 0),B(−1; 0; 0),C(0; 1; 1), D(0; 1;−1)
a) Vérifier que les conditions de l’énoncé sont bien toutes respectées et déterminer les coordonnées deH.
b) Démontrer que le plan(ABC)est le plan médiateur de[J K]avecJ(0; 1; 0)et K(0; 0; 1).
c) Déterminer l’équation du plan(ABC).
Redémontrer alors le résultat de la question 2.
