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Contrôle n˚5
Durée : deux heures. Calculatrices autorisées
I) 3 points
Une urne contient 5 boules blanches, 4 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 3 boules successivement et sans remise.
Quelle est la probabilité de l’événement « Une seule est blanche, les deux autres sont de la même couleur » ?
II) 6 points
Les calculs seront faits à10−3 près par excès.
Une entreprise en matériel informatique fabrique des « clés USB ».
4% des clés fabriquées sont défectueuses.
On effectue un test sur les clés pour détecter les clés défectueuses . Mais ce test n’est pas infaillible : il rejette 3% des bonnes clés en prétendant qu’elles sont défectueuses et il ne reconnaît que 95 % des clés défectueuses.
1. a) Faire un arbre représentant l’expérience
b) Quelle est la probabilité qu’une clé soit défectueuse et acceptée par le test ? Quelle est la probabilité que le test se trompe (dans un sens ou dans l’autre) ? c) Démontrer que la probabilité qu’une clé soit acceptée est égale à0,933 d) On tire une clé au hasard, on lui fait passer le test, et celui-ci déclare que la clé
est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle soit vraiment défectueuse ? 2. On effectue 5 tests successifs sur une clé (de manière indépendante). La clé est fina-
lement vendue si seulement au plus un des tests déclare que la clé est défectueuse.
Quelle est la probabilité qu’une clé prise au hasard soit vendue ?
III) 6 points
SoitABCDA0B0C0D0 un cube de côté 1. On choisit comme repère A;−−→
AB,−−→ AD,−−→
AA0 . On appelleI le milieu de[CD]
1. Déterminer l’équation du planP passant parAet orthogonal à(IB0).
Démontrer que la distance deI au planP est égale à 1 2.
2. Pour tout réelton appelleM le point défini par−−→ IM =t−−→
IB0, et on posef(t) =AM2 a) Calculerf(t)en fonction det.
b) Déterminer le sens de variation def.
c) Démontrer quef admet un extremum.
On appelleKla position du point M pour la valeur detcorrespondante.
Déterminer les coordonnées deK.
d) Déterminer l’intersection de(IB0)et du planP.
IV) 5 points
ABCD est un tétraèdre tel que ABC est un triangle équilatéral de côté 2√ 3, et DAB, DAC et DBCsont des triangles rectangles isocèles en D.
SoitGle centre de gravité du triangle ABC etH celui deADC.
SoitJ le milieu de[AC]
1. Démontrer que la droite(DG)est orthogonale à la droite(AC).
On admettra par la suite que(DG)est orthogonale au plan(ABC).
2. Démontrer que−−→
DH·−−→ DA=−−→
DG·−−→ DA= 2.
3. Démontrer queH est le projeté orthogonal deGsur le plan(ADC)
Figures (III et IV)
A•
B•
C•
•D A0
•
B0• •C0 D0
•
•I
•M
A•
•B C•
•D
•G
•H J•
