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Contrôle n˚3
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées
I) 5 points
Soitf la fonction définie sur]0; +∞[parf(x) =x 2 +1
x. Soitula suite définie paru0= 4 etun+1=f(un).
1. Démontrer queuest minorée par√ 2.
2. Déterminer le sens de variation deu.
3. a) Etudier la position relative de la courbe def et de la droite d’équation
y= x 2 +
√2
2 sur]0; +∞[
b) Démontrer par récurrence que, pour toutn>0,un6 3 2n +√
2 c) Déterminer la limite deun lorsquentend vers+∞(justifier).
II) 3 points
Soitula suite éfinie par :u1= 1
2 et un+1 =1 2
1 + 1
n
un.
1. Démontrer par récurrence queun6 2
n pour toutn>3.
2. Soitvn =un
n pourn>1.
Quelle est la nature de la suitev? (conjecturer puis démontrer).
En déduire la formule directe de un.
III) 8 points
Déterminer les limites suivantes (justifier précisément)
1. a) lim
x→0
ex−1
√x
b) lim
x→1
1 +ex 1−ex−1
c) lim
x→−∞1 +x+p x2+ 4x
2. f(x) = (2x3−4x2)e−x. Déterminer les limites def en+∞et en−∞
3. f(x) = x2
e3x−1. Déterminer les limites def en−∞, en 0 et en+∞
IV) 4 points
Les deux questions sont indépendantes.
1. ROC. Le but est de redémontrer une limite de "croissances comparées". On ne supposera rien de connu à ce sujet dans cette question.
a) Démontrer queex> x2
2 pour toutx(étudier une fonction auxiliaire).
b) En déduire la limite de ex
x lorsquextend vers+∞
2. Soitf la fonction définie surRparf(x) =√
x2+ 2x+ 2.
Déterminer la limite def(x)−xlorsque xtend vers+∞.
En déduire que la courbe de f admet une asymptote en+∞et déterminer cette asymptote.
