A477 – Deux indices pour six inconnues
A partir de quatre chiffres distincts a, b, c, d choisis parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, on écrit six entiers de la forme ac,ba,cd,da,db,et dc. Leur somme est égale à l’entier cabet le produit de deux d’entre eux est égal à l’entier abcd. Déterminer ces six entiers.
Solution proposée par Paul Voyer:
Somme=100c+10a+b comprise entre 123 et 987.
Produit de 2 =1000a+100b+10c+d compris entre 1234 et 7448 (= 98*76).
Somme=10a+c+10b+a+10c+d+10d+a+10d+b+10d+c
=12a+11b+12c+31d=100c+10a+b
2a+10b+31d=88c 88c≤31*9+10*8+2*7=373, c≤4
31d=88c-2a-10b=2(44c-a-5b) d pair
Ecrivons cela sous la forme 10b+2a=88c-31d.
Un essai de toutes les valeurs pour c (de 1 à 4) et d (2, 4, 6, 8) ne laisse que 2 possibilités pour :
- a et b compris entre 1 et 9 - a, b, c et d distincts
c=3, d=6 ne laisse pour 10b+2a que la valeur 78, b=7, a=4 c=4, d=8 ne laisse pour 10b+2a que la valeur 104, b=9, a=7
La condition sur les produits lève l'incertitude et ne laisse que la seconde possibilité.
soit a=4, b=7, c=3, d=6 on a bien 4736 = 74x64 = ba.da.
L'autre résultat 7948 = 4x1987, ne peut convenir, 1987 étant premier.
