G276. Multiplier pour égaliser
On écrit sur 120 cartes les fractions de la forme k/(k+1) pour k variant de 1 à 120 : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,....,119/120, 120/121. On partage le paquet P de 120 cartes en deux paquets de a cartes et de b cartes, a + b = 120, a ≤ b, et pour chacun d’eux on calcule les produits p1 et p2 des fractions correspondantes.
On s’intéresse désormais aux partages de P qui satisfont l’égalité p1 = p2.
Q1 Démontrer qu’il existe au moins un partage de P qui satisfait cette égalité.
Q2 Donner les valeurs minimale et maximale de a et décrire des partages de P correspondant à ces deux valeurs.
Q3 Dénombrer toutes les valeurs possibles de a.
Solution proposée par Paul Voyer Le produit p1*p2 vaut 1/121.
Il faut donc trouver les partages tels que p1 = 1/11, donc aussi p2.
Q1
Le partage
10 1 1
! 11
! 10
k k
a k et
120 11 1
! 121
!*
10
! 11
!*
120
k k
b k satisfait à p1=p2.
Q2
amin = 10 , c'est l'exemple donné en Q1.
Pour obtenir a=60, il suffit par exemple de remplacer le terme 1/2 par
100 ...
52 . 51
99 ...
51 .
50 ,
soit 1 terme par 50 termes, a=11-1+50=60.
amax = 60 C'est le maximum car a ≤ b.
Q3
a peut prendre toutes les valeurs comprises entre 10 et 60
exemples
a=11 par remplacement de 6/7 par 12/14=(12*13)/(13*14)
a=12 par remplacement de 4/5 par 12/15=(12*13*14)/(13*14*15)
a=13 par remplacement de 6/7 par 24/28=(24*25*26*27)/(25*26*27*28)
a=14 par remplacement de 4/5 par 20/25=(20*21*22*23*24)/(21*22*23*24*25)
a=15 par remplacement de 2/3 par 12/18=(12*13*14*15*16*17)/(13*14*15*16*17*18) a=16 par remplacement de 3/4 par 21/28
=(21*22*23*24*25*26*27)/(22*23*24*25*26*27*28) a=17 par remplacement de 2/3 par 16/24
a=18 par remplacement de 2/3 par 18/27 a=19 par remplacement de 2/3 par 20/30 a=20 par remplacement de 1/2 par 11/22 etc… jusqu'à 60 par remplacement de 1/2.
