Enoncé G276 (Diophante) Multiplier pour égaliser
On écrit sur 120 cartes les fractions de la formek/(k+ 1) pourkvariant de 1 à 120 : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, . . ., 119/120, 120/121. On partage le paquet P de 120 cartes en deux paquets de a cartes et de b cartes,a+b= 120, a≤b, et pour chacun d’eux on calcule les produits p1 etp2 des fractions correspondantes.
On s’intéresse désormais aux partages deP qui satisfont l’égalité p1=p2. Q1 Démontrer qu’il existe au moins un partage de P qui satisfait cette égalité.
Q2 Donner les valeurs minimale et maximale de aet décrire des partages de P correspondant à ces deux valeurs.
Q3 Dénombrer toutes les valeurs possibles de a.
Pour les plus courageux : soit n un entier naturel > 1. Le paquet P est constitué den2−1 cartes sur lesquelles sont écrites les fractions de la forme k/(k+1) pourkvariant de 1 àn2−1. On cherche à répartir les cartes deP en deux paquets deacartes etbcartes,a+b=n2−1,a≤b, de sorte que les produits des fractions correspondantesp1etp2sont identiques. Démontrer qu’un partage de P est toujours possible et déterminer la valeur minimale de b−aen fonction de n.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Les premières questions correspondent au cas n= 11 de l’extension indi- quée en finale. Je répondrai d’abord à celle-ci.
Pour abréger l’écriture, je noterai [u, v] le paquet formé (avec u < v) par les fractions u/(u+ 1),(u+ 1)/(u+ 2), . . . ,(v−1)/v. Il comporte v−u cartes et contribue au produit pour u/v.
On a p1p2 = 1/n2, la valeur commune de p1 etp2 est donc 1/n.
Le paquet [1, n] fournit une solution avec a =n−1. C’est la valeur mi- nimale dea; en effet, formons le paquet avec les cartes mi/(mi+ 1) pour 1 ≤ i ≤ a, les mi étant distincts et classés par ordre croissant. Alors mi ≥i,mi/(mi+ 1)≥i/(i+ 1), et le produit≥1/(a+ 1).
Commea≤b,a≤(n2−1)/2, etb−a a même parité quea+b, opposée à la parité den.
Sin impair = 2m−1, le paquet [m, mn] aa=m(n−1) = (n2−1)/2 =b cartes, c’est le maximum dea.
Sin pair = 2m−2, le paquet [2m, mn] complété par la carte 1/2 donne en touta= (n2−2)/2 =b−1 cartes, c’est le maximum de a.
Le minimum deb−aest donc 1−(nmod 2).
Revenons au casn= 11 pour la question 3.
Le paquet [m,11m] donne a = 10m pour 1 ≤m ≤6 et a= 10(12−m) pour 7≤m≤11.
De manière analogue, chaque triiplet (q, r, m) avec 2≤q≤10 et 1≤r ≤ m≤11 permet de partagerP en mettant dans un même paquet [r, qr] et [qm,11m] ; un petit programme permet de voir que la taille de ce paquet ou, si elle dépasse 60, la taille du paquet complémentaire, prend toutes les valeurs de 10 à 60.
