On écrit sur 120 cartes les fractions de la forme k/(k+1) pour k variant de 1 à 120 : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,....,119/120, 120/121. On partage le paquet P de 120 cartes en deux paquets de a cartes et de b cartes, a + b = 120, a ≤ b, et pour chacun d’eux on calcule les produits p1 et p2 des fractions correspondantes.
On s’intéresse désormais aux partages de P qui satisfont l’égalité p1 = p2. Q1 Démontrer qu’il existe au moins un partage de P qui satisfait cette égalité.
Q2 Donner les valeurs minimale et maximale de a et décrire des partages de P correspondant à ces deux valeurs.
Q3 Dénombrer toutes les valeurs possibles de a.
Q1 : Nous avons p1*p2=1/2*2/3*...*120/121=1/121=1/112 ; donc p1=p2=1/11 : une solution évidente est a=10, avec un premier ensemble 1/2, 2/3,..., 9/10, 10/11.
Q2 : La fonction k/(k+1) est croissante, toujours inférieure à 1 : on en déduit que le produit de moins de 10 éléments est toujours supérieur à 1/11, donc que le premier partage trouvé correspond au minimum a=10.
Comme a≤b, la valeur maximale de a est 60, obtenue par exemple avec pour premier ensemble : 6/7, 7/8, ..., 64/65, 65/66.
Q3 : Toutes les valeurs comprises entre les bornes, soit 10 et 60, sont possibles pour a : l’on part de l’ensemble minimal pour a=10, soit 1/2, 2/3, ... , 9/10, 10/11 ;
en échangeant, entre les deux ensembles de la partition, 10/11 avec respectivement (20/21, 21/22), (30/31, 31/32, 32/33), ... ,(110/111, ..., 120/121) on peut obtenir a=11, 12, ... , 20.Partant du dernier ensemble obtenu, on échange 9/10 avec (18/19, 19/20), ... (99/100, ... , 109/110) pour obtenir a=21, ... , 30. Et ainsi de suite : à partir du dernier ensemble obtenu, on échange 8/9 avec (16/17, 17/18) ...
(88/89, ... , 98/99) pour obtenir a=31, ... , 40. Puis 7/8 avec (14/15, 15/16), ... , (77/78, ... , 87/88) pour a=41, ... , 50. Enfin, 6/7 avec (12/13, 13/14), ... , (66/67, ... , 76/77) pour a=51, ... , 60.
