A804 - Multiplier en divisant.
Solution
Sachant que ab = (a + b)/ (1/a + 1/b), il y a un moyen sûr mais laborieux d’arriver au résultat quand a et b sont des entiers naturels : on additionne l’inverse de a et l’inverse de b soit un nombre r puis on calcule l’inverse 1/r qui est égal à ab/(a+b). Ce résultat est mis en mémoire et on répète l’opération (a+b) fois de façon à obtenir ab. Si a et b sont des nombres entiers importants, il faut beaucoup de patience. Si a et b sont des réels quelconques, la méthode est inadaptée.
Il convient donc de rechercher de nouvelles identités.
On sait que ab = (a+b) /2 – 2 a /2 – 2 b /2 et 2 a /2 = 1/(1/(a – 1) – 1/(a + 1)) + 1/2. 2
Il en résulte que : ab = 1/(1/(a + b –1) – 1/(a + b + 1)) – 1/(1/(a – 1) – 1/(a + 1)) – 1/(1/(b – 1) – 1/(b + 1)) – 1/2.
Les opérations à réaliser sont alors les suivantes : Inv(a+b-1) – Inv(a+b+1) = p, Inv(p), Inv(a- 1) – Inv(a+1) = q, Inv(q), Inv(p) – Inv(q) = r, Inv(b-1) – Inv(b+1) = s, Inv(s), r – Inv(s) = t, Inv(2), t –Inv(2) = ab
