Equations et inéquations du premier degré
Table des matières
1 Résolution des équations du premier degré 2
2 Résolution des inéquations du premier degré 4
Les premières traces d’écriture des « Mathé- matiques » datent approximativement de 3 300 av. J.-C.. Il s’agit la première écriture inventée par l’Homme ! A l’époque, la numération en base 60est employée (à l’origine de notre division des heures et des degrés... 5 000 ans plus tard !) et les textes, très courts, traitent pour la plupart de comptabilité : des sacs de grains, des animaux, etc.
Les équations du premier degré (traitant de problème de proportionnalité simples) et même du second degré sont résolus avec une méthode
générale par les Babyloniens vers1 700av. J.-C. Tablette sumérienne datée d’environ3 000 av.
J.-C., enregistrant des productions de bières Pendant des millénaires, les Egyptiens, les Grecs, les Chinois, les Indiens n’avaient d’autres manières de résoudre ces équations qu’en usant de longues phrases très verbeuses. Les démonstrations tournent alors rapidement à la dissertation d’une page, ce qui rend les idées confuses. Cette incapacité de la langue à produire un raisonnement rigoureux et synthétique est une des raisons pour laquelle ces grandes civilisations n’ont jamais su aller loin dans leur compréhension des Mathématiques.
Al-Khwarizmi. Son nom est à l’origine du mot algorithme et le titre de l’un de ses ouvrages
(Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison) à l’origine du mot algèbre.
Au IXe siècle ap. J.-C., Al-Khwarizmi (mathé- maticien perse, membre de la Maison de la Sa- gesse de Bagdad) comprend qu’une équation fai- sant intervenir des moutons se résout de la même manière que la même équation faisant intervenir des pommes ou n’importe quoi d’autre. Il nomme alors l’inconnue de l’équation « chaï », qui signifie
« chose » et qui est devenu, après plusieurs traduc- tions, lexbien connu de nos équations modernes.
Il généralise ensuite tous les problèmes de pro- portionnalité à l’aide d’une unique équation : ax+b= 0!
1 Résolution des équations du premier degré
Une équation est une égalité dans laquelle apparaît une ou plusieurs lettres, appelées inconnues(ou variables), dont on ne connaît pas les valeurs.Résoudrel’équation consiste à trouver toutes les valeurs des inconnues (appeléessolutions) pour lesquelles l’égalité est vraie.
Définition 1.
Exemple 2. On considère l’équation(E) :x2+y2= 1, d’inconnuesxety. Le couple(x;y) = (1; 0) est une solution de l’équation. Il existe toutefois d’autres solutions à cette équation.
Deux équations sont diteséquivalentessi elles ont le même ensemble de solutions.
Soient deux équations(E1)et(E2). Dire que «(E1)est équivalente à(E2)» s’écrit(E1)ðñ (E2).
Définition 3.
‚ Une égalité reste vraie si on ajoute ou si ou soustrait un même nombre à ses deux membres. Autrement dit, pour tousa, b, cPR,
a=bðña+c=b+c et a=bðña´c=b´c.
‚ Une égalité reste vraie si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre non nul. Autrement dit, pour tousa, b, cPRavecc‰0,
a=bðñaˆc=bˆc et a=bðñ a c =b
c. Proposition 4.
Soienta, bPR. On appelleéquation du premier degré à une inconnuetoute équation équivalente à une équation de la formeax+b= 0.
Définition 5.
Soienta, b, c, dPR. Toute équation de la formeax+b=cx+dest une équation du premier degré.
Proposition 6.
Démonstration.
On aax+b=cx+dðñax´cx+b´d= 0cx´cx+d´dðñ(a´c)x+ (b´d) = 0.
Soient a, bP R. On considère l’équation (E) :ax+b = 0 d’inconnue réelle x. On noteS l’ensemble des solutions de(E).
‚ Sia‰0, on procède en deux étapes :
1) on « élimine » le terme « sans x» (ici b) du membre de gauche à l’aide d’une soustraction ou d’une addition :(E)ðñax+b´b= 0´bðñax=´b.
2) on « isole »xà l’aide d’une multiplication ou d’une division : (E)ðñax=´bðñ ax
a =´b
a ðñx=´b a. FinalementS=
"
´b a
* .
‚ Si a= 0 et b ‰0, on a(E)ðñ0x+b = 0 ðñb = 0. Cette dernière égalité étant fausse, l’équation n’admet aucune solution :S=H.
‚ Si a= 0 et b= 0, on a (E)ðñ0x+ 0 = 0ðñ 0 = 0. Cette dernière égalité étant vraie pour toute valeur dex,S =R.
Méthode 8-Résolution d’une équation du premier degré à une inconnue.
Exemple 9. On considère l’équation(E) : 4y+ 1 = 7y´8d’inconnueyPR.
SoityPR. On a :
(E) ðñ 4y+ 1 = 7y´8 ðñ 4y´7y+ 1 = 7y´7y´8 ðñ ´3y+ 1 = ´8 ðñ ´3y+ 1´1 = ´8´1 ðñ ´3y = ´9 ðñ ´3y
´3 = ´9
´3
ðñ y = 3
Finalement, l’ensemble des solutions de(E)est t3u.
Remarque. Dans l’exemple précédent, on peut se rassurer en vérifiant que l’égalité est vraie si on remplacey par3 :4ˆ3 + 1 = 13 et7ˆ3´8 = 13.
Exemple 10. On considère l’équation(E) : 4x+ 1 = 4x´8d’inconnuexPR.
SoitxPR. On a :
(E) ðñ 4x+ 1 = 4x´8 ðñ 4x´4x+ 1 = 4x´4x´8
ðñ 1 = ´8
Finalement, l’ensemble des solutions de(E)est H.
Exemple 11. On considère l’équation(E) : 4x+ 1 = 4x+ 1d’inconnuexPR.
SoitxPR. On a :
(E) ðñ 4x+ 1 = 4x+ 1 ðñ 4x´4x+ 1 = 4x´4x+ 1
ðñ 1 = 1
Finalement, l’ensemble des solutions de(E)est R.
2 Résolution des inéquations du premier degré
‚ Une inéquation est une inégalité dans laquelle apparaît une ou plusieurs lettres, appeléesinconnues (ou variables), dont on ne connaît pas les valeurs.
‚ Résoudre l’inéquation consiste à trouver toutes les valeurs des inconnues (appelées solutions) pour lesquelles l’inégalité est vraie.
‚ Deux inéquations sont diteséquivalentessi elles ont le même ensemble de solutions.
‚ Soient a, b, c, d P R. On appelle inéquation du premier degré à une inconnue toute inéquation équivalente à une équation de la formeax+bďcx+d, ouax+bă cx+d.
Définition 12.
‚ Une inégalité reste vraie si on ajoute ou si ou soustrait un même nombre à ses deux membres.
‚ Si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre strictement positif une inégalité, on obtient une inégalité équivalente.
‚ Si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre strictement négatif une inégalité, on obtient une inégalité équivalente mais dont le sens a changé.
Proposition 13.
Soient a, b, c, d PR avec a‰c. On considère l’équation (I) :ax+b ďcx+dd’inconnue réellex. On procède en trois étapes, comme pour résoudre une équation du premier degré : 1) on « déplace » les termes enxà gauche, à l’aide d’une addition ou d’une soustraction :
(I)ðñax+bďcx+dðñax+b´cxďd+cx´cxðñ(a´c)x+bďd;
2) on « déplace » les termes sansxà droite, à l’aide d’une addition ou d’une soustraction : (I)ðñ(a´c)x+bďdðñ(a´c)x+b´bďd´bðñ(a´c)xďd´b ; 3) on « isole »x, en divisant par le nombre devant xen faisant attention au signe de ce
nombre :
(a) sia´cą0,
(I)ðñ(a´c)xďd´bðñ(a´c)x
a´c ďd´b
a´c ðñxď d´b a´c ;
(b) si a´că0,
(I)ðñ(a´c)xďd´bðñ(a´c)x
a´c ěd´b
a´c ðñxě d´b a´c . Méthode 14-Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.
Exemple 15. On considère l’inéquation(I) :´2x+ 1ą ´x
2 + 2 d’inconnuexPR.
SoitxPR. On a :
(E) ðñ ´2x+ 1 ą ´x
2 + 2 ðñ ´2x+x
2 + 1 ą ´x 2+x
2 + 2 (on « déplace » les termes avecxà gauche) ðñ ´3
2x+ 1´1 ą 2´1 (on « déplace » les termes sansxà droite)
ðñ ´3
2x ą 1 ðñ ´3
2xˆ (
´2 3
)
ă 1ˆ (
´2 3
)
(on divise par le nombre devantx: puisqu’il est négatif, le sens de l’inégalité change)
ðñ x ă ´2
3. Finalement, l’ensemble des solutions de(I)est
]
´8; ´2 3 [
.
Exemple 16. On considère l’inéquation(I) : 3x
4 + 4ěx
2 + 2d’inconnuexPR.
SoitxPR. On a :
(E) ðñ 3x
4 + 4 ě x 2 + 2 ðñ 3x
4 ´x
2 + 4 ě x 2´x
2 + 2 (on « déplace » les termes avecxà gauche) ðñ x
4 + 4´4 ě 2´4 (on « déplace » les termes sansxà droite)
ðñ x
4 ě ´2
ðñ x
4ˆ4 ě ´2ˆ4 (on divise par le nombre devantx: puisqu’il est positif, le sens de l’inégalité ne change pas) ðñ x ě ´8.
Finalement, l’ensemble des solutions de(I)est [´8 ; +8[.
Remarque. On rappelle que diviser par a
b revient à multiplier par b
a. Dans le calcul précédent, on divise par 1
4, ce qui revient à multiplier par 4 1 = 4.
Exemple 17. On considère l’équation(I) :´3x+ 1ď ´3x´1d’inconnuexPR.
SoitxPR. On a :
(I) ðñ ´3x+ 1 ď ´3x´1 ðñ ´3x+3x+ 1 ď ´3x+3x´1
ðñ 1 ď ´1
Finalement, l’ensemble des solutions de(I)est H.
Exemple 18. On considère l’équation(I) :x+ 1ďx+ 2d’inconnuexPR.
SoitxPR. On a :
(I) ðñ x+ 1 ď x+ 2 ðñ x´x+ 1 ď x´x+ 2 ðñ 1 ď 2 Finalement, l’ensemble des solutions de(I)est R.
