D177. Immuablement égaux
Deux droites perpendiculaires entre elles passent par l’orthocentre H d’un triangle acutangle ABC, l’une comme l’autre n’étant jamais confondues avec une hauteur du triangle.Chacune d’elles coupe les droites qui portent les côtés du triangle et détermine deux segments l’un intérieur au triangle et l’autre extérieur. Par exemple,dans la figure ci-après,sur la droite XbXaXc, le segment bleu XaXb est à l’intérieur du triangle et le segment rouge XaXc est à l’extérieur.
Démontrer que lorsque les droites perpendiculaires pivotent autour de H, le produit des longueurs des deux segments intérieurs est toujours égal au produit des longueurs des deux segments
extérieurs.
Soient trois points B(b,a), C(c,a), A(0, a+bc/a) et le point H(0,0) dont on peut vérifier qu'il est l'orthocentre du triangle ABC ( les produits scalaires HC.BA et HB.CA sont nuls ).
Équations des droites BC, CA, AB : y=a, ay+bx = a²+bc, ay+cx = a²+bc
La droite y=mx les coupe en trois points dont les abscisses sont :
BC CA AB
y= mx Xa = a/m Xb = (a²+bc)/(am+b) Xc = (a²+bc)/(am+c)
La droite x+my = 0 les coupe en trois points dont les ordonnées sont :
BC CA AB
x+my = 0 Ya = a Yb = (a²+bc)/(a-mb) Yc = (a²+bc)/(a-mc)
Dans le cas de figure ci-dessus on observe les résultats suivants : Produit des longueurs bleues :
Abs{(1+m²)[Xb – Xc][Yc – Ya] = Abs{(1+m²)(a²+bc)[1/(am+b)-1/(am+c)][(a²+bc)/(a-mc) – a]}
= Abs{ (c(m2+1)(c−b)(a2+bc)) ((a−cm)(am+c)) } Produit des longueurs rouges :
Abs{(m²+1)(Xc – Xa)(Yb – Yc)}= Abs{(m²+1)[(a²+bc)/(am+c) – a/m](a²+bc)[1/(a-mb)– 1/(a-mc)]}
= Abs{ (c(m2+1)(c−b)(a2+bc)) ((a−cm)(am+c)) } Les deux produits sont toujours égaux.
Des calculs analogues concernant tous les autres cas de figure aboutiraient encore à l'égalité des deux produits.
