© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Devoir surveillé n°04
• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
• On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.
• Les calculatrices sont interdites.
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Problème 1 – D’après INT 1991�
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Notations
• La suite complexe de terme généralα𝑛est notée(α𝑛)𝑛∈ℕ, ou(α𝑛)ou plus simplementα.
• La série de terme général𝑢𝑛est notée ∑
𝑛∈ℕ
𝑢𝑛ou plus simplement∑ 𝑢𝑛.
Partie I –
Dans cette partie, on noteSACl’ensemble des suites𝑢 ∈ ℂℕtelles que∑ 𝑢𝑛convergeabsolument. On admet queSACest unℂ-espace vectoriel.
I.1 I.1.a Soit𝑢une suite à termes strictement positifs tel que∑ 𝑢𝑛converge. Montrer qu’il existe une suiteαde réels positifs, tendant vers+∞en croissant, telle que la série∑ α𝑛𝑢𝑛 converge.
On pourra utiliser la suiteαdéfinie par :∀𝑛 ∈ ℕ, α𝑛 = 1
√R𝑛−1+ √R𝑛
oùR𝑛est le reste de rang𝑛de la série∑ 𝑢𝑛.
I.1.b Soit 𝑢une suite à termes strictement positifs tel que∑ 𝑢𝑛 diverge. Montrer, de façon ana- logue, qu’il existe une suiteαde réels positifs, tendant vers0en décroissant, telle que la série
∑ α𝑛𝑢𝑛diverge.
I.2 Normes surSAC.
I.2.a Soitαune suitestrictementpositive et majorée. Montrer que l’applicationNαdéfinie par
∀𝑢 ∈ SAC, Nα(𝑢) =
+∞
∑
𝑛=0
α𝑛|𝑢𝑛|
est bien définie et que c’est une norme surSAC.
I.2.b Soitαune suite strictement positive et majorée. Pour𝑝 ∈ ℕ, on noteδ𝑝la suite dont tous les termes sont nuls sauf celui de rang𝑝qui vaut1, c’est-à-dire
∀𝑛 ∈ ℕ, δ𝑝𝑛 = {0 si𝑛 ≠ 𝑝 1 si𝑛 = 𝑝 Que vautNα(δ𝑝)?
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I.2.c Dans cette question uniquement, on suppose que
∀𝑛 ∈ ℕ, α𝑛= 1
2𝑛 et ∀𝑛 ∈ ℕ, β𝑛= 1 𝑛!
Les normesNαetNβsont-elles équivalentes surSAC?
I.2.d Soientαetβdeux suites strictement positives et majorées. Donner une condition nécessaire et suffisante pour queNαetNβsoient équivalentes.
Partie II –
Dans cette partie, on considère une suite𝑢 ∈ ℂℕtelle que∑ 𝑢𝑛converge et on noteR𝑛 =
+∞
∑
𝑘=𝑛+1
𝑢𝑘.
II.1 Dans cette question uniquement, on se donne𝑞 ∈ ℂtel que|𝑞| < 1et on suppose que𝑢𝑛 = 𝑞𝑛 pour tout𝑛 ∈ ℕ.
II.1.a DéterminerR𝑛pour𝑛 ∈ ℕ.
II.1.b Montrer que la série∑ R𝑛converge et calculer+∞∑
𝑛=0
R𝑛.
II.2 Dans cette question uniquement, on se donneα > 1et on suppose que𝑢𝑛 = 1
𝑛α pour tout𝑛 ∈ ℕ∗. II.2.a Montrer que
1
(𝑛 − 1)α−1 − 1 𝑛α−1 ∼
𝑛→+∞
α − 1 𝑛α II.2.b En déduire un équivalent deR𝑛 lorsque𝑛tend vers+∞.
II.2.c Pour quelles valeurs deαla série∑ R𝑛converge-t-elle?
II.2.d Montrer que dans ce cas,
+∞
∑
𝑛=0
R𝑛 =
+∞
∑
𝑛=1
1 𝑛α−1
On pourra s’intéresser à la famille(𝑣𝑘,𝑛)(𝑘,𝑛)∈ℕ∗×ℕoù𝑣𝑘,𝑛= { 1
𝑘α si𝑘 > 𝑛 0 si𝑘 ≤ 𝑛. II.3 Dans cette question uniquement, on se donne𝑎 ∈ ℝet on suppose que𝑢𝑛= 𝑎𝑛
𝑛! pour tout𝑛 ∈ ℕ.
II.3.a Que vaut
+∞
∑
𝑛=0
𝑢𝑛? On ne demande pas de justification.
II.3.b Justifier la série∑ R𝑛converge et montrer que+∞∑
𝑛=0
R𝑛= 𝑎𝑒𝑎. On pourra s’intéresser à la famille(𝑣𝑘,𝑛)(𝑘,𝑛)∈ℕ∗×ℕoù𝑣𝑘,𝑛= {
𝑎𝑘
𝑘! si𝑘 > 𝑛 0 si𝑘 ≤ 𝑛 .
II.4 Dans cette question, on suppose seulement𝑢positive.
II.4.a Montrer que pour tout𝑛 ∈ ℕ∗,
𝑛−1
∑
𝑘=0
R𝑘= 𝑛R𝑛+
𝑛
∑
𝑘=1
𝑘𝑢𝑘
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II.4.b On suppose que la série∑ R𝑛 converge. Montrer que la série∑ 𝑛𝑢𝑛 converge puis que la suite(𝑛R𝑛)converge vers0.
Partie III – Soit𝑛 ∈ ℕ∗. PourA ∈ ℳ𝑛(ℂ), on poseN(A) = max
1≤𝑖,𝑗≤𝑛|A𝑖,𝑗|. On admet queNest une norme surℳ𝑛(ℂ). On noteIla matrice identité deℳ𝑛(ℂ).
III.1 III.1.a Montrer que pour(A, B) ∈ ℳ𝑛(ℂ)2,N(AB) ≤ 𝑛N(A)N(B).
III.1.b En déduire que pour tout𝑝 ∈ ℕ∗,N(A𝑝) ≤ 𝑛𝑝−1N(A)𝑝. III.1.c Montrer que la série ∑
𝑝∈ℕ
A𝑝
𝑝! converge. On pose alors exp(A) = +∞∑
𝑝=0
A𝑝 𝑝!. III.2 Dans cette question, on suppose𝑛 = 3et on poseA =
⎛
⎜⎜
⎝
1 −2 −2
−1 2 −1 1 1 4
⎞
⎟⎟
⎠ .
III.2.a Déterminer deux réels𝑎et𝑏tels queA2= 𝑎A + 𝑏I.
III.2.b Déterminer deux suitesαetβtelles que
∀𝑝 ∈ ℕ, A𝑝= α𝑝A + β𝑝I
III.2.c Déterminer deux réelsλetμtels que exp(A) = λA + μI.
III.2.d On pose R𝑝 =
+∞
∑
𝑘=𝑝+1
A𝑘
𝑘!. Montrer que la série ∑
𝑝∈ℕ
R𝑝 converge et calculer
+∞
∑
𝑝=0
R𝑝 sous la forme𝑐A + 𝑑Ioù𝑐et𝑑sont deux réels.
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