Enoncé

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Devoir à la maison n°01

• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.

• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.

• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.

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Problème 1�

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Partie I – Définition d’une application Soit𝑛un entier naturel non nul.

SoitT(X)un polynôme deℂ[X]de degré𝑛.

Soit 𝑓 l’application définie sur ℂ[X]qui à toutP(X) de ℂ[X]associe Q(X) + XR(X)où Q(X)et R(X) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne deP(X²)parT(X).

On a doncP(X²) = Q(X)T(X) + R(X)avec deg(R(X)) <deg(T(X)).

On notera𝑓_𝑛 la restriction de𝑓àℂ_𝑛[X].

1. Montrer que𝑓est une application linéaire.

2. Montrer que𝑓_𝑛 est un endomorphisme de l’espace vectoriel(ℂ_𝑛[X], +, .).

3. Dans cette question uniquement𝑛 = 2etT(X) = X².

a. Donner la matriceAde𝑓₂sur la base canonique(1, X, X²).

b. Calculer A². En déduire que 𝑓₂ est bijective et donner son application réciproque. En déduire la nature de𝑓₂.

Partie II – Etude d’un cas particulier

Soit𝑎un complexe fixé. Dans cette partie uniquement,𝑛 = 3etT(X) = X³+ X²+ 𝑎.

1. Montrer que𝑓₃a pour matrice sur la base canonique(1, X, X², X³)deℂ₃[X]:

B =

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎝

0 0 −1 −𝑎 − 1 1 0 𝑎 + 1 1 + 𝑎 + 𝑎² 0 0 −𝑎 −𝑎 − 1 0 1 1 2𝑎 + 2

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎠

2. Calculer le déterminant de𝑓₃.

3. Donner les valeurs de𝑎pour lesquelles𝑓₃n’est pas bijective.

4. Dans cette question𝑎 = −1.

a. Donner une base de Ker𝑓₃, le noyau de𝑓₃ainsi qu’une base de Im𝑓₃, l’image de𝑓₃.

http://lgarcin.github.io 1

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville b. Le noyau et l’image de𝑓₃sont-ils supplémentaires?

Partie III – Etude du noyau

1. SoitP(X)un polynôme non nul de degré𝑝tel que :2𝑝 < 𝑛. Montrer que𝑓(P(X))est non nul.

2. SoitP(X)un polynôme. Montrer qu’il appartient au noyau de𝑓si et seulement si il existe un polynôme R(X)de degré strictement inférieur a𝑛tel que :P(X²) = R(X)(1 − XT(X)).

3. En déduire que siP(X)est un élément du noyau de𝑓, alors il appartient àℂ_𝑛[X].

4. Déduire de la question2que pour tout élémentPdu noyau de𝑓et que pour tout𝑘deℕtel que deg(P(X))+

𝑘 ≤ 𝑛, le polynômeX^𝑘P(X)appartient au noyau de𝑓.

5. On suppose dans cette question que le noyau de𝑓n’est pas réduit au polynôme nul. SoitIl’ensemble des entiers naturels𝑘tels qu’il existe un polynôme du noyau de𝑓qui a pour degré𝑘.

a. Montrer queIpossède un plus petit élément𝑑.

b. SoitP₀(X)un polynôme du noyau ayant pour degré𝑑. SoitP₁(X)un autre polynôme du noyau ayant pour degré𝑑. Montrer qu’il existe un complexe𝑐tel queP₁(X) = 𝑐P₀(X).

c. Montrer qu’un polynômeP(X)appartient au noyau de𝑓si et seulement s’il existe un polynômeS(X) de degré inférieur ou égal à𝑛 − 𝑑tel queP(X) = S(X)P₀(X).

6. On suppose dans cette question queT(X) = X³+ X²− 1. Donner le noyau de𝑓.

Partie IV – Etude d’un produit scalaire

Dans cette partie on prendraT(X) = X²et on considérera𝑔la restriction de𝑓₂àℝ₂[X].

1. Montrer que𝑔est bien un endomorphisme de l’espace vectorielréel(ℝ₂[X], +, .). Donner sa matriceA sur la base canonique deℝ₂[X].

2. Soit⟨., .⟩définie surℝ₂[X]²à valeurs dansℝpar :

∀(U(X), V(X)) ∈ ℝ₂[X]², ⟨U(X), V(X)⟩ = U(1)V(1) + U^′(1)V^′(1) + U^″(1)V^″(1)

Montrer que⟨., .⟩est un produit scalaire sur(ℝ₂[X], +, .).

3. Montrer que la matriceAde𝑔sur la base canonique est une matrice orthogonale.

4. a. La base canonique deℝ₂[X]est-elle orthonormale pour le produit scalaire⟨., .⟩? b. L’application𝑔est-elle une isométrie vectorielle pour le produit scalaire⟨., .⟩?

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