Enoncé

(1)

Devoir surveillé n°06

• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

• On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.

• Les calculatrices sont interdites.

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Problème 1 – D’après CCP PSI 2012�

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Notations

On désigne parℝ l’ensemble des nombres réels et parℂ celui des nombres complexes. Etant donné un entier naturel𝑛 ≥ 2, pour𝕂 = ℝou𝕂 = ℂ,ℳ_𝑛(𝕂)(resp.ℳ_𝑛,1(𝕂)) désigne le𝕂-espace vectoriel des matrices carrées à 𝑛 lignes (resp. des matrices colonnes à𝑛 lignes), à coefficients dans𝕂. La notation A = (𝑎_𝑖,𝑗)signifie que𝑎_𝑖,𝑗est le coefficient de la ligne𝑖et de la colonne𝑗deA. On noteA^⊤la transposée d’une matriceA.

PourA ∈ ℳ_𝑛(𝕂), on note det(A)le déterminant deA, tr(A)la trace deA, Sp_ℂ(A)le spectre complexe de Aet siλ ∈Sp_ℂ(A), on noteE_λ(A)le sous-espace propre des vecteursX ∈ ℳ_𝑛,1(ℂ)qui vérifientAX = λX. On note égalementI_𝑛la matrice identité deℳ_𝑛(𝕂).

On noteJ1, 𝑛Kl’ensemble des entiers naturels𝑘tels que1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛.

Enfin, pour tout nombre complexe𝑧,|𝑧|désigne le module de𝑧.

On dit qu’une matriceA = (𝑎_𝑖,𝑗) ∈ ℳ_𝑛(ℝ)vérifie la propriété(𝒮)lorsque

∀(𝑖, 𝑗) ∈J1, 𝑛K

2, 𝑎_𝑖,𝑗> 0 et ∀𝑖 ∈J1, 𝑛K,

𝑛

∑

𝑗=1

𝑎_𝑖,𝑗= 1

Partie I – Dans cette partie, on suppose𝑛 = 3. On note classiquement𝑗 = 𝑒

2𝑖π 3 .

On considère les pointsP,QetRd’affixes respectifs1,𝑗et𝑗². On noteTl’intérieur du trianglePQR, bords non compris.

I.1 I.1.a Déterminer les équations cartésiennes des droites(PQ),(QR)et(RP).

I.1.b En déduire qu’un point d’affixe𝑥 + 𝑖𝑦appartient àTsi et seulement si𝑥et𝑦vérifient les trois inégalités suivantes :

2𝑥 + 1 > 0 𝑥 − √3𝑦 − 1 < 0 𝑥 + √3𝑦 − 1 < 0

I.2 Dans cette question, on considère une matriceA = (𝑎_𝑖,𝑗) ∈ ℳ₃(ℝ)vérifiant la propriété(𝒮). I.2.a Montrer que1est valeur propre deA.

Dans la suite de la questionI.2, on suppose que les autres valeurs propres deAsont des nombres complexes conjugués distinctsλetλavec0 < |λ| < 1. On noteλ = 𝑎 + 𝑖𝑏avec(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ².

I.2.b Exprimer tr(A)et tr(A²)en fonction deλetλ, puis en fonction de𝑎et𝑏.

http://lgarcin.github.io 1

(2)

I.2.c Montrer les inégalités tr(A) > 0er tr(A²) > 𝑎²_1,1+ 𝑎²_2,2+ 𝑎²_3,3. I.2.d En déduire l’inégalité tr(A)² < 3tr(A²).

I.2.e En déduire que2𝑎 + 1 > 0et(𝑎 − √3𝑏 − 1)(𝑎 + √3𝑏 − 1) > 0.

I.2.f En déduire que le point d’affixeλappartient àT.

I.3 Dans cette question, on se donneλ = 𝑟𝑒^𝑖θavec𝑟 ∈]0, 1[etθ ∈]0, π[. On suppose que le point d’affixe λappartient àTet on note

α = 1 + 2𝑟cos(θ)

3 β =

1 + 2𝑟cos(θ +^2π

3 )

3 γ =

1 + 2𝑟cos(θ −^2π

3 ) 3

I.3.a Montrer les égalités suivantes α = 1 + λ + λ

3 β = 1 + 𝑗λ + 𝑗²λ

3 γ = 1 + 𝑗²λ + 𝑗λ 3

I.3.b On considère la matriceA =

⎛

⎜⎜

⎝ α β γ γ α β β γ α

⎞

⎟⎟

⎠

. Montrer queAvérifie la propriété(𝒮).

I.3.c SoitJ =

⎛

⎜⎜

⎝ 0 1 0 0 0 1 1 0 0

⎞

⎟⎟

⎠

. CalculerJ². Exprimer la matriceAen fonction deI₃,JetJ². I.3.d Déterminer les valeurs propres, réelles ou complexes, de la matriceJ.

I.3.e En déduire que les valeurs propres deAsont1,λetλ.

Partie II –

Dans toute cette partie,A = (𝑎_𝑖,𝑗)désigne une matrice deℳ_𝑛(ℝ)qui vérifie la propriété(𝒮).

II.1 Soit U =

⎛

⎜⎜

⎝ 1

⋮ 1

⎞

⎟⎟

⎠

∈ ℳ_𝑛,1(ℝ)le vecteur colonne dont tous les coefficients valent1. CalculerAUet en déduire que1est valeur propre deA.

II.2 Précision surSp_ℂ(A).

II.2.a Soit une matriceB = (𝑏_𝑖,𝑗) ∈ ℳ_𝑛(ℂ)telle que det(B) = 0.

II.2.a.i Justifier qu’il existeX =

⎛

⎜⎜

⎝ 𝑥₁

⋮ 𝑥_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

∈ ℳ_𝑛,1(ℂ)tel queX ≠ 0etBX = 0.

II.2.a.ii Soit𝑘 ∈J1, 𝑛Ktel que|𝑥_𝑘| =max{|𝑥_𝑖|, 𝑖 ∈J1, 𝑛K}. Justifier l’inégalité

|𝑏_𝑘,𝑘| ≤ ∑

𝑗≠𝑘

|𝑏_𝑘,𝑗|

II.2.b Soit λ ∈Sp_ℂ(A). En appliquant la questionII.2.aà la matriceB = A − λI_𝑛, montrer qu’il existe𝑘 ∈J1, 𝑛Ktel que|𝑎_𝑘,𝑘− λ| ≤ 1 − 𝑎_𝑘,𝑘. En déduire|λ| ≤ 1.

II.2.c On suppose queλ ∈ Sp_ℂ(A)vérifie|λ| = 1et on noteλ = 𝑒^𝑖θavecθ ∈ ℝ. Déduire de la questionII.2.bque cos(θ) = 1, puis en déduireλ.

(3)

II.3 Dimension deE₁(A).

II.3.a Montrer que1 ∈Sp_ℂ(A^⊤). En comparant le rang deA − I_𝑛et celui deA^⊤− I_𝑛, montrer que les sous-espacesE₁(A)etE₁(A^⊤)ont même dimension.

II.3.b SoitV =

⎛

⎜⎜

⎝ 𝑣₁

⋮ 𝑣_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

∈ ℳ_𝑛,1(ℂ),V ≠ 0, tel queA^⊤V = V.

II.3.b.i Montrer que pour tout𝑖 ∈J1, 𝑛K, on a|𝑣_𝑖| ≤

𝑛

∑

𝑗=1

𝑎_𝑗,𝑖|𝑣_𝑗|. II.3.b.ii En calculant∑^𝑛

𝑖=1

|𝑣_𝑖|, montrer que toutes ces inégalités sont en fait des égalités.

II.3.b.iii On note|V| =

⎛

⎜⎜

⎝

|𝑣₁|

⋮

|𝑣_𝑛|

⎞

⎟⎟

⎠

. Montrer queA^⊤|V| = |V|, puis que pour tout𝑖 ∈J1, 𝑛K, on a|𝑣_𝑖| > 0.

II.3.c II.3.c.i Soient X =

⎛

⎜⎜

⎝ 𝑥₁

⋮ 𝑥_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

et Y =

⎛

⎜⎜

⎝ 𝑦₁

⋮ 𝑦_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

des matrices non nulles de ℳ_𝑛,1(ℂ) qui

appartiennent à E₁(A^⊤). En considérant la matrice X − 𝑥₁

𝑦₁Y, déterminer la dimension deE₁(A^⊤).

II.3.c.ii Justifier qu’il existe un vecteur uniqueΩ =

⎛

⎜⎜

⎝ ω₁

⋮ ω_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

qui engendre E₁(A^⊤), tel

que pour tout𝑖 ∈J1, 𝑛K, on aitω_𝑖> 0et∑^𝑛

𝑖=1

ω_𝑖= 1.

II.3.c.iii Montrer que, pour tout𝑖 ∈J1, 𝑛K, on a ∑^𝑛

𝑗=1

𝑎_𝑗,𝑖ω_𝑗 = ω_𝑖. II.3.d Bilan des propriétés spectrales deAet deA^⊤.

Citer les propriétés des vecteurs propres et des sous-espaces propres deAet deA^⊤qui ont été démontrées dans les questions précédentes de la deuxième partie.

II.4 A l’aide la matriceΩ =

⎛

⎜⎜

⎝ ω₁

⋮ ω_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

définie enII.3.c, on considère l’applicationNdéfinie deℳ_𝑛,1(ℂ)dans

ℝpar

∀X =

⎛

⎜⎜

⎝ 𝑥₁

⋮ 𝑥_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

, N(X) =

𝑛

∑

𝑖=1

ω_𝑖|𝑥_𝑖|

II.4.a Montrer queNest une norme surℳ_𝑛,1(ℂ).

II.4.b Montrer que pour toutX ∈ ℳ_𝑛,1(ℂ)on aN(AX) ≤ N(X).

II.4.c Retrouver le résultat de la questionII.2.b: pour toutλ ∈Sp_ℂ(A),|λ| ≤ 1.

II.5 Ordre de multiplicité de la valeur propre1deA.

(4)

A l’aide la matrice colonneΩ =

⎛

⎜⎜

⎝ ω₁

⋮ ω_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

, on considère la forme linéaireΦ ∶ ℳ_𝑛,1(ℂ) → ℂdéfinie par

∀X =

⎛

⎜⎜

⎝ 𝑥₁

⋮ 𝑥_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

, Φ(X) =

𝑛

∑

𝑖=1

ω_𝑖𝑥_𝑖

On note ker(Φ)le noyau deΦ.

II.5.a Montrer que pour toutX ∈ ℳ_𝑛,1(ℂ)on aΦ(AX) = Φ(X).

II.5.b Justifier queℳ_𝑛,1(ℂ) = E₁(A) ⊕ker(Φ).

II.5.c SoitX ∈ E_λ(A)avecλ ≠ 1. Montrer queX ∈ker(Φ).

II.5.d En utilisant les résultats précédents, déterminer l’ordre de multiplicité de la la valeur propre 1de la matriceA.