© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Devoir surveillé n°07
• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
• On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.
• Les calculatrices sont interdites.
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Problème 1 – CCP MP 2013�
� Dans tout le texte,𝕂désigne le corsℝouℂet𝑝un entier nature non nul.
On noteℳ𝑝(𝕂)le𝕂-espace vectoriel des matrices carrées de taille𝑝à coefficients dans𝕂etI𝑝la matrice unité deℳ𝑝(𝕂).
On pourra confondreℳ1(𝕂)et𝕂.
Une matriceNdeℳ𝑝(𝕂)est dite nilpotente s’il existe un entier naturel𝑟tel queN𝑟= 0.
SiM1, … , M𝑘 sont des matrices carrées, la matrice diag(M1, … , M𝑘)désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sontM1, … , M𝑘.
SiEest un𝕂-espace vectoriel, on note IdEl’application identité surE.
Enfin, on note𝕂[X]la𝕂-algèbre des polynômes à coefficients dans𝕂.
On dit qu’une matriceAdeℳ𝑝(𝕂)est «toute puissantesur𝕂» et on notera en abrégéTP𝕂si, pour tout𝑛 ∈ ℕ∗, il existe une matriveBdeℳ𝑝(𝕂)telle queA = B𝑛.
On noteT𝑝(𝕂)l’ensemble des matrices deℳ𝑝(𝕂)toutes-puissantes sur𝕂:
T𝑝(𝕂) = {A ∈ ℳ𝑝(𝕂) ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ∗, ∃B ∈ ℳ𝑝(𝕂), A = B𝑛}
L’objectif principal du sujet est d’établir le resultat suivant : toute matrice inversible deℳ𝑝(ℂ)estTPℂ.
Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre-exemples.
Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matriceAest scindé, on peut ramener l’étude au cas des matrices de la formeλI𝑝+ NavecNnilpotente.
Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes, c’est-à-dire de la formeI𝑝+ NavecNnilpotente et on en déduit le théorème principal.
Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes. La partie III utilise les résultats des parties précé- dentes.
I Quelques exemples
1 Le cas de la taille1.
1.a Démontrer queT1(ℝ) = [0, +∞[.
1.b Soient𝑛 ∈ ℕ∗et𝑏 = 𝑟𝑒𝑖θ avec𝑟 > 0etθ ∈ ℝ. Donner les racines𝑛-ièmes du nombre complexe𝑏, c’est-à-dire les solutions de l’équation𝑧𝑛= 𝑏d’inconnue𝑧 ∈ ℂ.
1.c En déduireT1(ℂ).
2 Une condition nécessaire …
2.a Démontrer que siA ∈ T𝑝(𝕂), alors det(A) ∈ T1(𝕂).
2.b En déduire un exemple de matrice deℳ2(ℝ)qui n’est pasTPℝ.
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3 …mais pas suffisante.
SoitA = (−1 0
0 −2). Démontrer qu’il n’existe aucune matriceB = (𝑎 𝑏
𝑐 𝑑)deℳ2(ℝ)telle queA = B2. En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n’est pas suffisante.
4 Un cas oùAest diagonalisable.
SoitA =
⎛
⎜⎜
⎝
0 3 2
−2 5 2 2 −3 0
⎞
⎟⎟
⎠ .
4.a Démontrer queAest diagonalisable surℝ(le détail des calculs n’est pas demandé).
4.b Démontrer que la matriceAestTPℝ.
4.c Pour chacun des cas 𝑛 = 2et𝑛 = 3, expliciter une matriceBdeℳ3(ℝ)vérifiantB𝑛 = A(on pourra utiliser la calculatrice).
5 Un exemple de nature géométrique.
SoitA = (−1 0 0 −1).
5.a Justifier queAest la matrice d’une rotation vectorielle dont on précisera une mesure de l’angle.
5.b En déduire queAestTPℝ.
6 Le cas des matrices nilpotentes.
SoitNune matrice nilpotente deℳ𝑝(𝕂).
6.a Déterminer le polynôme caractéristique deN. En déduire queN𝑝= 0.
6.b Démontrer que siNestTP𝕂, alorsNest nulle.
II Cas où le polynôme caractéristique est scindé
Dans toute cette partie,Adésigne une matrice deℳ𝑝(𝕂)dont le polynôme caractéristique notéχAest scindé sur𝕂, c’est-à-dire de la forme
χA =
𝑘
∏
𝑖=1
(X − λ𝑖)𝑟𝑖
avec𝑘, 𝑟1, … , 𝑟𝑘des entiers naturels non nuls etλ1, … , λ𝑘les valeurs propres distinctes deA, éléments de𝕂.
On noteℬla base canonique de𝕂𝑝et𝑢l’endomorphisme de𝕂𝑝dontAest la matrice dans la baseℬ.
Enfin, pour𝑖 ∈J1, 𝑘K, on noteC𝑖=Ker(𝑢 − λ𝑖Id𝕂𝑝)𝑟𝑖que l’on appelle sous-espace caractéristique de𝑢associé à la valeur propreλ𝑖.
7 Démontrer que𝕂𝑝= C1⊕ ⋯ ⊕ C𝑘.
8 Montrer que tout𝑖 ∈J1, 𝑘K, le sous-espace caractéristiqueC𝑖est stable par𝑢. On note alors𝑢C𝑖l’endomorphisme deC𝑖induit par𝑢.
9 Soit𝑖 ∈J1, 𝑘K. Justifier que𝑢C𝑖− λ𝑖IdC𝑖est un endomorphisme deC𝑖nilpotent.
10 En déduire que la matriceApeut s’écrire sous la forme
A = Pdiag(λ1I𝑝1+ N1, … , λ𝑘I𝑝𝑘+ N𝑘)P−1
avecPune matrice inversible deℳ𝑝(𝕂)et pour tout𝑖 ∈J1, 𝑘K,𝑝𝑖=dimC𝑖etN𝑖une matrice nilpotente de ℳ𝑝𝑖(𝕂).
On rappelle que diag(λ1I𝑝1 + N1, … , λ𝑘I𝑝𝑘 + N𝑘) désigne la matrice diagonale par blocs de premier bloc λ1I𝑝1+ N1, de deuxième blocλ2I𝑝2+ N2et de dernier blocλ𝑘IP𝑘+ N𝑘.
11 Démontrer que, si pour tout𝑖 ∈J1, 𝑘K, la matriceλ𝑖I𝑝𝑖+ N𝑖estTP𝕂, alorsAest elle-mêmeTP𝕂.
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III Le cas de matrices unipotentes
SoitNune matrice nilpotente deℳ𝑝(𝕂). Nous allons montrer que la matrice unipotenteI𝑝+ NestTP𝕂. On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale.
12 Une application des développements limités.
12.a SoitVun polynôme deℝ[X]tel queV(𝑥) =
𝑥→0𝑜(𝑥𝑝).
Démontrer, à l’aide d’une division euclidienne, qu’il existe un polynômeQdeℝ[X]tel queV = X𝑝Q. 12.b Soit𝑛 ∈ ℕ∗. Démontrer l’existence d’un polynômeUdeℝ[X]tel que
1 + 𝑥 =
𝑥→0
U(𝑥)𝑛+ 𝑜(𝑥𝑝)
On pourra utiliser un développement limité de(1 + 𝑥)αau voisinage de0. 12.c En déduire que, pour tout𝑛 ∈ ℕ∗, il existe un polynômeQdeℝ[X]tel que
1 + X = U𝑛+ X𝑝Q
13 Applications.
13.a Démontrer que la matrice unipotenteI𝑝+ NestTP𝕂.
13.b Soitλ ∈ 𝕂non nul. En déduire que siλestTP𝕂, alors la matriceλI𝑝+ NestTP𝕂. 14 Le résultat annoncé.
14.a Conclure que toute matrice inversible deℳ𝑝(ℂ)estTPℂ.
14.b Toute matrice deℳ𝑝(ℂ)est-elleTPℂ?
15 Donner un exemple de matrice deℳ4(ℝ)non diagonalisable et non inversible qui estTPℝ.
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