Enoncé

(1)

Devoir surveillé n°09

• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

• On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.

• Les calculatrices sont interdites.

�

Problème 1 – CCP 2003 – Utilisation des polynômes de Tchebychev en analyse�

� On noteEl’ensemble des applications continues de[−1, 1]dansℝ.

On désigne parE_𝑛l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de[−1, 1]dansℝde degré inférieur ou égal à 𝑛, où𝑛est un entier naturel.

On pourra confondre les expressions «polynôme» et «fonction polynomiale».

Si𝑓est un élément deE, on pose‖𝑓‖_∞= sup

𝑥∈[−1,1]

|𝑓(𝑥)|.

Les parties II et III sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I.

I Polynômes de Tchebychev

Dans toute cette partie,𝑛désigne un entier naturel.

1 Existence et unicité

1.a Déterminer un polynômeTà coefficients réels de degré𝑛vérifiant la propriété (⋆) ∀θ ∈ ℝ, T(cosθ) =cos(𝑛θ)

On pourra remarquer que cos(𝑛θ)est la partie réelle de(cosθ + 𝑖sinθ)^𝑛. 1.b Vérifier qu’un polynôme vérifiant(⋆)est unique.

On l’appelle le polynôme de Tchebychev d’indice𝑛, on le noteT_𝑛. On définit alors une fonction polynomiale sur[−1, 1]par

∀𝑥 ∈ [−1, 1], T_𝑛(𝑥) =cos(𝑛arccos𝑥) 2 2.a Montrer que

∀𝑥 ∈ [−1, 1], T_𝑛+2(𝑥) = 2𝑥T_𝑛+1(𝑥) − T_𝑛(𝑥) On pourra calculerT_𝑛+2(𝑥) + T_𝑛(𝑥).

2.b CalculerT₀,T₁,T₂etT₃.

2.c Donner le coefficient dominant deT_𝑛. 3 Racines et extrema

On suppose𝑛non nul dans cette question.

3.a Montrer que

∀𝑥 ∈ [−1, 1], T_𝑛(𝑥) = 2^𝑛−1

𝑛−1

∏

𝑘=0

(𝑥 −cosθ_𝑘)oùθ_𝑘= (2𝑘 + 1)π 2𝑛

http://lgarcin.github.io 1

(2)

3.b On pose pour𝑘 ∈J0, 𝑛K,𝑐_𝑘=cos(𝑘π 𝑛 ).

Calculer‖T_𝑛‖_∞puis montrer que

∀𝑘 ∈J0, 𝑛K, |T_𝑛(𝑐_𝑘)| = ‖T_𝑛‖_∞ et que

∀𝑘 ∈J0, 𝑛 − 1K, T_𝑛(𝑐_𝑘+1) = −T_𝑛(𝑐_𝑘) Les𝑛 + 1réels𝑐₀, 𝑐₁, … , 𝑐_𝑛sont appelés «points de Tchebychev».

3.c Dessiner le graphe deT₃et préciser sur le graphe les réels𝑐₀,𝑐₁,𝑐₂et𝑐₃.

II Polynômes de Tchebychev et orthogonalité

Orthogonalité desT_𝑛

4 Montrer que pour toute fonctionℎdeE, l’application𝑡 ↦ ℎ(𝑡)

√1 − 𝑡² est intégrable sur] − 1, 1[.

Pour(𝑓, 𝑔) ∈ E², on pose⟨𝑓, 𝑔⟩ = ∫

1

−1

𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)

√1 − 𝑡² d𝑡.

5 Montrer que⟨⋅, ⋅⟩définit un produit scalaire surE.

Ceci nous permet de définir une norme euclidienne surE: pour tout élémentℎdeE, on pose‖ℎ‖₂= √⟨ℎ, ℎ⟩.

6 Calculer⟨T_𝑛, T_𝑚⟩selon les valeurs des entiers naturels𝑚et𝑛. En déduire pour tout entier naturel𝑛que la famille(T₀, T₁, … , T_𝑛)est une base orthogonale deE_𝑛.

Polynôme de meilleure approximation quadratique

Dans toute la suite de la partie II,𝑓désignera un élément deEet𝑛un entier naturel.

On pose𝑑₂(𝑓, E_𝑛) =inf{‖𝑓 − Q‖₂, Q ∈ E_𝑛}.

Le but de la suite de la partie II est d’exprimer‖𝑓‖₂en fonction des ⟨𝑓, T_𝑘⟩

‖T_𝑘‖₂ .

7 7.a Enoncer un théorème justifiant l’existence et l’unicité d’un vecteur𝑡_𝑛(𝑓)dansE_𝑛tel que‖𝑓−𝑡_𝑛(𝑓)‖₂= 𝑑₂(𝑓, E_𝑛).

7.b Exprimer𝑡_𝑛(𝑓)à l’aide des polynômes de Tchebychev.

On dit que𝑡_𝑛(𝑓)est le polynôme de meilleure approximation quadratique de𝑓surE_𝑛. 8 Montrer que

𝑑₂(𝑓, E_𝑛) =

√√

√

‖𝑓‖²₂−

𝑛

∑

𝑘=0

⟨𝑓, T_𝑘⟩²

‖T_𝑘‖²₂

9 9.a En déduire que la série ∑

𝑘∈ℕ

⟨𝑓, T_𝑘⟩²

‖T_𝑘‖²₂ est convergente.

9.b Que pensez-vous de la limite de∫

1

−1

𝑓(𝑡)T_𝑛(𝑡)

√1 − 𝑡² d𝑡lorsque𝑛tend vers+∞?

(3)

Convergence en norme quadratique

10 10.a Soitℎun élément deE. Montrer que‖ℎ‖₂≤ √π‖ℎ‖_∞. 10.b Montrer en utilisant un théorème de Weierstrass que lim

𝑛→+∞‖𝑓 − 𝑡_𝑛(𝑓)‖₂= 0. 11 11.a En déduire que‖𝑓‖₂ =

√√

√

+∞

∑

𝑘=0

⟨𝑓, T_𝑘⟩²

‖T_𝑘‖² . 11.b Application : un théorème des moments.

Que peut-on dire d’une fonctionℎdeEtelle que pour tout entier naturel𝑛,∫

1

−1

ℎ(𝑡)T_𝑛(𝑡)

√1 − 𝑡² d𝑡 = 0?

III Polynôme de meilleure approximation au sens de Tchebychev

Dans toute cette partie,𝑛désigne un entier naturel et𝑓un élément deE. On note𝑑_∞(𝑓, E_𝑛) =inf{‖𝑓 − Q‖_∞, Q ∈ E_𝑛}.

On dit qu’un élémentPdeE_𝑛est un polynôme de meilleure approximation (on notera en abrégé PMA) au sens de Tchebychev d’ordre𝑛s’il vérifie une des deux conditions équivalentes

(i) ‖𝑓 − P‖_∞= 𝑑_∞(𝑓, E_𝑛)

(ii) ∀Q ∈ E_𝑛, ‖𝑓 − P‖_∞ ≤ ‖𝑓 − Q‖_∞. Existence d’un PMA d’ordre𝑛pour𝑓

On poseK = {Q ∈ E𝑛, ‖𝑓 − Q‖_∞≤ ‖𝑓‖_∞}.

12 12.a Montrer queKest une partie non vide fermée et bornée deE_𝑛. 12.b En déduire queKest une partie compacte non vide deE_𝑛. 13 13.a Montrer que𝑑_∞(𝑓, E_𝑛) = 𝑑_∞(𝑓, K).

13.b En déduire qu’il existe un élémentPdeE_𝑛tel que‖𝑓 − P‖_∞= 𝑑_∞(𝑓, E_𝑛).

Pest donc un PMA d’ordre𝑛de𝑓.

Condition suffisante pour être un PMA

Soitℎun élément deE. On dit queℎéquioscillesur𝑘 + 1points s’il existe𝑘 + 1réels𝑥₀< 𝑥₁< ⋯ < 𝑥_𝑘 de l’intervalle[−1, 1]tels que

∀𝑖 ∈J0, 𝑘K, |ℎ(𝑥_𝑖)| = ‖ℎ‖_∞ et

∀𝑖 ∈J0, 𝑘 − 1K, ℎ(𝑥_𝑖+1) = −ℎ(𝑥_𝑖) On dit que les extrema sont alternés.

14 Exemples.

14.a Dessiner le graphe d’une fonctionϕdeEtelle que‖ϕ‖_∞= 1

2 etϕéquioscille sur4points.

On ne cherchera pas à expliciter une telle fonction.

14.b Montrer que le polynômeT_𝑛+1de Tchebychev d’indice𝑛 + 1équioscille sur𝑛 + 2points.

Le but de la question15est de montrer le résultat suivant :

SiPest un élément deE_𝑛tel que𝑓 − Péquioscille sur𝑛 + 2points, alorsPest un PMA d’ordre𝑛 de𝑓.

(4)

15 SoitPun élément deE_𝑛tel que𝑓 − Péquioscille sur𝑛 + 2points que l’on note𝑥₀< 𝑥₁< ⋯ < 𝑥_𝑛+1. SoitQun élément deE_𝑛tel que‖𝑓 − Q‖_∞< ‖𝑓 − P‖_∞.

15.a Soit𝑖 ∈J0, 𝑛 + 1K. Montrer que si𝑓(𝑥_𝑖) − P(𝑥_𝑖) > 0, alorsQ(𝑥_𝑖) − P(𝑥_𝑖) > 0.

On obtiendrait de même que, si𝑓(𝑥_𝑖) − P(𝑥_𝑖) < 0, alorsQ(𝑥_𝑖) − P(𝑥_𝑖) < 0. 15.b En déduire queP = Qet conclure.

Détermination de PMA

16 Dans cette question, on pose𝑓(𝑥) = 𝑥^𝑛+1et𝑞_𝑛(𝑥) = 𝑥^𝑛+1− 2^−𝑛T_𝑛+1(𝑥)pour𝑥 ∈ [−1, 1].

Montrer que𝑞_𝑛 est un PMA d’ordre𝑛de𝑓.

17 En déduire que pour tout polynômePunitaire de degré𝑛 + 1,2^−𝑛‖T_𝑛+1‖_∞≤ ‖P‖_∞.

18 18.a Dans cette question,𝑓est un polynôme de degré𝑛 + 1. Déterminer un PMA d’ordre𝑛de𝑓. 18.b Application : déterminer un PMA d’ordre2de𝑓(𝑥) = 5𝑥³+ 2𝑥 − 3.

Remarque. On peut montrer l’unicité du PMA.

Il n’existe pas de formule générale qui donne l’expression du PMA d’une fonction quelconque. On peut cepen- dant utiliser un algorithme (de Remes) qui fournit une suite de polynômes qui converge vers le PMA.