© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Devoir surveillé n°03
• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
• On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.
• Les calculatrices sont interdites.
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Problème 1 – CCP PSI 2006�
� Si𝑛est un entier naturel non nul, on note
σ𝑛 =
𝑛
∑
𝑘=1
1
𝑘 = 1 +1
2 + ⋯ + 1 𝑛 et on poseσ0= 0.
A toute suite complexe𝑎, on associee la suite𝑎∗définie par :
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎∗𝑛 = 1 2𝑛
𝑛
∑
𝑘=0
(𝑛 𝑘)𝑎𝑘
Partie I – Deux exemples 1. Cas d’une suite constante.
Soitα ∈ ℂ∗. On suppose que la suite𝑎est définie par∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛 = α.
a. Expliciter ∑𝑛
𝑘=0
(𝑛
𝑘)pour𝑛 ∈ ℕ.
b. Expliciter𝑎∗𝑛pour𝑛 ∈ ℕ. c. La série ∑
𝑛≥0
𝑎𝑛 (resp. ∑
𝑛≥0
𝑎∗𝑛) est-elle convergente?
2. Cas d’une suite géométrique.
Soit𝑧 ∈ ℂ; on suppose que la suite𝑎est définie par :∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛 = 𝑧𝑛. a. Exprimer𝑎∗𝑛en fonction de𝑧et𝑛.
b. On suppose que|𝑧| < 1.
i. Justifier la convergence de la série ∑
𝑛≥0
𝑎𝑛et expliciter sa sommeA(𝑧) =
∞
∑
𝑛=0
𝑎𝑛. ii. Justifier la convergence de la série ∑
𝑛≥0
𝑎∗𝑛et expliciter sa somme
∞
∑
𝑛=0
𝑎∗𝑛en fonction deA(𝑧). c. On suppose que|𝑧| ≥ 1.
i. Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série ∑
𝑛≥0
𝑎𝑛? ii. Quelle est la nature de ∑
𝑛≥0
𝑎∗𝑛si𝑧 = −2?
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iii. On suppose𝑧 = 𝑒𝑖θ, avecθréel tel que0 < |θ| < π.
Montrer que la série ∑
𝑛≥0
𝑎∗𝑛est convergente. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme ∑∞
𝑛=0
𝑎∗𝑛.
Partie II – Etude du procédé de sommation Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose que𝑎est à valeurs réelles.
1. Comparaison des convergences des deux suites.
a. Soit𝑛 ∈ ℕ∗, on considère une entier𝑘fixé,𝑘 ∈J0, 𝑛K.
i. Préciser un équivalent de(𝑛
𝑘)lorsque𝑛tend vers+∞. ii. En déduire la limite de 1
2𝑛(𝑛
𝑘)lorsque𝑛tend vers+∞.
b. Soit𝑎une suite réelle et𝑞un entier naturel fixé.
On considère pour𝑛 > 𝑞la sommeS𝑞(𝑛, 𝑎) =
𝑞
∑
𝑘=0
(𝑛 𝑘)𝑎𝑘
2𝑛. Quelle est la limite deS𝑞(𝑛, 𝑎)lorsque l’entier𝑛tend vers+∞?
c. On suppose que𝑎𝑛tend vers0lorsque𝑛tend vers+∞. Montrer que𝑎∗𝑛 tend vers0lorsque𝑛tend vers+∞.
d. On suppose que𝑎𝑛 tend vers ℓ(limite finie) lorsque𝑛 tend vers +∞. Quelle est la limite de 𝑎∗𝑛 lorsque𝑛tend vers+∞?
e. La convergence de la suite(𝑎𝑛)est-elle équivalente à la convergence de la suite(𝑎∗𝑛)? 2. Comparaison des convergences des séries∑ 𝑎𝑛et∑ 𝑎∗𝑛.
Pour𝑛 ∈ ℕ∗, on noteS𝑛=
𝑛
∑
𝑘=0
𝑎𝑘,T𝑛 =
𝑛
∑
𝑘=0
𝑎∗𝑘,U𝑛= 2𝑛T𝑛.
a. Pour𝑛 ∈J0, 3K, exprimerU𝑛comme combinaison linéaire des sommesS𝑘, c’est à dire sous la forme U𝑛 =
𝑛
∑
𝑘=0
λ𝑛,𝑘S𝑘.
b. On se propose de déterminer l’expression explicite deU𝑛comme combinaison linéaire des sommes S𝑘pour𝑘 ∈J0, 𝑛K:
(ℰ) U𝑛=
𝑛
∑
𝑘=0
λ𝑛,𝑘S𝑘pour𝑛 ∈ ℕ
i. A quelle expression des coefficientsλ𝑛,𝑘(en fonction de𝑛et𝑘) peut-on s’attendre compte-tenu des résultats obtenus à la question précédente?
ii. Etablir la formule(ℰ) par récurrence sur l’entier𝑛 (on pourra remarquer que pour tout𝑘 ∈ J0, 𝑛K,𝑎𝑘= S𝑘− S𝑘−1avec la conventionS−1= 0).
c. On suppose que la série∑ 𝑎𝑛est convergente. Montrer que la série∑ 𝑎∗𝑛est convergente et expri- mer la somme
+∞
∑
𝑛=0
𝑎∗𝑛en fonction de la somme
+∞
∑
𝑛=0
𝑎𝑛.
d. La convergence de la série∑ 𝑎𝑛est-elle équivalente à la convergence de la série∑ 𝑎∗𝑛?
Partie III – Une étude de fonctions.
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Pour𝑥réel, lorsque cela a du sens, on pose : 𝑓(𝑥) =
∞
∑
𝑛=0
𝑥𝑛
(𝑛 + 1)! 𝑔(𝑥) =
∞
∑
𝑛=0
σ𝑛𝑥𝑛
𝑛! ϕ(𝑥) =
∞
∑
𝑛=0
σ𝑛𝑥𝑛
1. Etude de𝑓.
a. Vérifier que𝑓est définie et continue surℝ.
b. Expliciter𝑥𝑓(𝑥)pour tout𝑥réel.
c. Expliciter𝑒−𝑥𝑓(𝑥)pour tout𝑥réel.
2. Etude de𝑔.
a. Montrer que𝑔est définie et de classe𝒞1surℝ.
b. On désigne par𝑔′la dérivée de la fonction𝑔. Exprimer𝑔′− 𝑔en fonction de𝑓. c. Montrer que pour tout𝑥réel :
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥∫
𝑥
0
𝑒−𝑡𝑓(𝑡) d𝑡 3. La fonctionF.
On condidère la fonctionFdéfinie surℝpar : F(𝑥) = ∫
𝑥
0
𝑒−𝑡𝑓(𝑡)d𝑡
a. Montrer que la fonctionFest développable en série entière surℝet expliciter son développement.
b. Pour𝑛 ∈ ℕ∗, on noteγ𝑛 =
𝑛
∑
𝑘=1
(−1)𝑘+1
𝑘 ⋅ 𝑘!(𝑛 − 𝑘)!. Exprimerγ𝑛en fonction de𝑛etσ𝑛. 4. La série∑(−1)𝑘+1
𝑘 . a. Soit𝑤𝑘=ln(𝑘 + 1
𝑘 ) − 1
𝑘 + 1 pour𝑘 ∈ ℕ∗. i. Montrer que la série ∑
𝑘≥1
𝑤𝑘est convergente.
ii. En déduire que la suite de terme généralσ𝑛−ln(𝑛)admet une limite finie (que l’on ne demande pas de calculer) lorsque𝑛tend vers+∞.
b. Pour𝑛 ∈ ℕ∗, on poseτ𝑛=
𝑛
∑
𝑘=1
(−1)𝑘+1
𝑘 . Exprimerτ2𝑛 en fonction deσ2𝑛etσ𝑛. c. Montrer en utilisant les questions précédentes que la série∑
𝑘≥1
(−1)𝑘+1
𝑘 est convergente et déterminer sa somme
∞
∑
𝑘=1
(−1)𝑘+1 𝑘 . 5. Etude de la fonctionϕ.
a. Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière ∑
𝑛≥1
σ𝑛𝑥𝑛.
b. Préciser l’ensemble de définitionΔde la fonctionϕ, et étudier ses variations sur[0, R[.
c. Valeur deϕ (1 2).
En utilisant les résultat de la partie II et de la question4.c, expliciter la valeur deϕ (1 2).
d. Expliciterϕ(𝑥)pour𝑥 ∈ Δet retrouver la valeur deϕ (1 2).
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