Définition et propriétés des fonctions convexes Définition :
Soit 𝑓 une fonction définie sur ℝ.
𝑓 est convexe ⇔ ∀(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ , ∀𝜆 ∈ [0; 1], 𝑓(𝜆𝑥 + (1 − 𝜆)𝑦) ≤ 𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦)
Cette définition traduit la propriété géométrique suivante : la courbe de 𝑓 est en- dessous de ses cordes :
Propriété :
Si 𝑓 est dérivable sur ℝ, 𝑓 est convexe ⇔ 𝑓′ est croissante.
Si 𝑓 est dérivable sur ℝ, 𝑓 est convexe ⇔ ∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) Autrement dit, la courbe de 𝑓 est au-dessus de ses tangentes :
Remarque : très pratique pour démontrer des inégalités : ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒 ≥ 𝑥 + 1 Si 𝑓 est deux fois dérivable sur ℝ, 𝑓 est convexe ⇔ 𝑓′′ est positive.
Définition et propriétés des fonctions concaves Définition :
Soit 𝑓 une fonction définie sur ℝ.
𝑓 est concave ⇔ ∀(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ , ∀𝜆 ∈ [0; 1], 𝑓(𝜆𝑥 + (1 − 𝜆)𝑦) ≥ 𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦) Cette définition traduit la propriété géométrique suivante : la courbe de 𝑓 est au-dessus de ses cordes :
Propriété :
Si 𝑓 est dérivable sur ℝ, 𝑓 est concave ⇔ 𝑓′ est décroissante.
Si 𝑓 est dérivable sur ℝ, 𝑓 est concave ⇔ ∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) Autrement dit, la courbe de 𝑓 est en-dessous de ses tangentes :
Remarque : très pratique pour démontrer des inégalités : ∀𝑥 ∈]0: +∞[, ln (𝑥) ≤ 𝑥 − 1 Si 𝑓 est deux fois dérivable sur ℝ, 𝑓 est concave ⇔ 𝑓′′ est négative.
