Enoncé

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Devoir surveillé n°05

• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

• On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.

• Les calculatrices sont interdites.

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Problème 1 – E3A MP 2013�

� L’objet du problème est l’étude des deux suites récurrentes doubles définies par : 𝑢₀= 𝑎, 𝑢₁= 𝑏, ∀𝑛 ≥ 0, 𝑢_𝑛+2= 2

𝑢_𝑛+1+ 𝑢_𝑛 et 𝑣₀= 𝑎, 𝑣₁= 𝑏, ∀𝑛 ≥ 0, 𝑣_𝑛+2= 1

√𝑣𝑛+1𝑣_𝑛 où𝑎et𝑏sont deux réels strictement positifs.

Partie I – Etude de la suite(𝑣_𝑛)

Soit𝑣₀> 0et𝑣₁> 0. On considère la suite définie pour𝑛 ≥ 0par :𝑣_𝑛+2= 1

√𝑣𝑛+1𝑣_𝑛.

1. Quelles sont les limites possibles, finies ou infinies, de la suite(𝑣_𝑛)? (On justifiera précisément la réponse.) 2. On pose :𝑤_𝑛 =ln(𝑣𝑛).

a. Déterminer une relation de récurrence vérifiée par la suite(𝑤_𝑛).

On note F l’espace vectoriel complexe des suites complexes vérifiant cette relation de récurrence.

b. Déterminer une base deF.

c. Si(𝑥_𝑛) ∈ F, que peut-on dire de la convergence de(𝑥_𝑛)?

3. Que peut-on en déduire concernant le comportement de la suite(𝑣_𝑛)? sur le comportement de la série

∑

𝑛≥0

𝑣_𝑛? de la série ∑

𝑛≥0

(𝑣_𝑛− 1)?

Partie II – Norme subordonnée

Soit‖ ‖une norme surℳ_𝑛,1(ℂ). On appelle norme subordonnéeà la norme‖ ‖l’application||| |||définie sur ℳ_𝑛(ℂ)définie par

|||A||| = sup

X∈ℂ^𝑛,‖X‖≤1

‖AX‖

1. Vérifier que||| |||définit bien une norme surℳ_𝑛(ℂ). 2. Montrer que||| |||est unenorme d’algèbre, c’est-à-dire que

∀(A, B) ∈ ℳ_𝑛(ℂ)², |||AB||| ≤ |||A||| |||B|||

Partie III – Etude de normes matricielles

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Soit𝑛 ∈ ℕ^∗. Dans la suite, on note‖ ‖_∞la norme usuelle surℂ^𝑛définie pour(𝑧₁, 𝑧₂, … , 𝑧_𝑛) ∈ ℂ^𝑛par :

‖(𝑧₁, 𝑧₂, … , 𝑧_𝑛)‖_∞=max(|𝑧1|, |𝑧₂|, … , |𝑧_𝑛|)

et on identifie le𝑛-uplet(𝑧₁, 𝑧₂, … , 𝑧_𝑛) ∈ ℂ^𝑛au vecteur colonne

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎝ 𝑧₁ 𝑧₂

⋮ 𝑧_𝑛

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎠

∈ ℳ_𝑛,1(ℂ). PourA ∈ ℳ_𝑛(ℂ), on note

|||A|||_∞la norme deApour la norme subordonnée à la norme‖ ‖_∞. Enfin, pourZ ∈ ℂ^𝑛etP ∈ ℳ_𝑛(ℂ), on pose : N_P(Z) = ‖PZ‖_∞.

1. SoitD ∈ ℳ_𝑛(ℂ)une matrice diagonale :

D =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

𝑚_1,1 0 … … 0

0 𝑚_2,2 ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ 0

0 … … 0 𝑚_𝑛,𝑛

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠ On pose𝑚 = max

1≤𝑖≤𝑛|𝑚_𝑖,𝑖|.

a. SoitZ ∈ ℂ^𝑛. Montrer que‖DZ‖_∞≤ 𝑚‖Z‖_∞. b. Déterminer|||D|||_∞.

2. a. SoitP ∈ ℳ_𝑛(ℂ). Montrer queN_Pest une norme surℂ^𝑛 ssiPest une matrice inversible.

LorsquePest inversible, on notera dorénavant‖ ‖_PpourN_Pet la norme subordonnée à la norme

‖ ‖_Psurℳ_𝑛(ℂ)sera notée||| |||_P.

b. On se donne une matriceP ∈ GL_𝑛(ℂ). PourA ∈ ℳ_𝑛(ℂ), montrer que :

|||A|||_P = ||||||PAP⁻¹||||||_∞.

3. SoitA ∈ ℳ_𝑛(ℂ). PourM ∈ ℳ_𝑛(ℂ), on note sp(M)l’ensemble des valeurs propres deMet on définit ρ(M)par :ρ(M) =max{∣ μ ∣, μ ∈sp(M)}.

a. Montrer que, pour toute matriceP ∈ GL_𝑛(ℂ), on a :ρ(A) = ρ(PAP⁻¹). b. SoitP ∈ GL_𝑛(ℂ). Montrer queρ(A) ≤ |||A|||_P.

c. On supposeAdiagonalisable.

Montrer qu’il existeP ∈ GL_𝑛(ℂ)telle queρ(A) = |||A|||_P. d. Un exemple. SoitA = (

0 0 1 1 0 0 0 1 0

). Déterminer ρ(A). Déterminer l’inverse P⁻¹ d’une matrice P ∈ GL₃(ℂ)telle queρ(A) = |||A|||_P.

e. Un exemple. SoitA = (𝑎_𝑖,𝑗) ∈ ℳ_𝑛(ℂ)définie par :∀𝑖, 𝑗 ∈ J1, 𝑛K, 𝑎_𝑖,𝑗 = 𝑗. Déterminer l’inverse P⁻¹d’une matriceP ∈ GL_𝑛(ℂ)telle queρ(A) = |||A|||_P.

4. Dans cette question, on suppose que𝑛 = 2. Soit doncA = ( 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 ) ∈ ℳ₂(ℂ).

a. On pose𝑚 =max(|𝑎| + |𝑏|, |𝑐| + |𝑑|). Montrer que, pour toutZ ∈ ℂ², on a :

‖AZ‖_∞≤ 𝑚‖Z‖_∞. Déterminer|||A|||_∞.

b. On suppose la matrice non diagonalisable et on note 𝑓 l’endomorphisme de ℂ² canoniquement associé àA.

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i. Démontrer que sp(A)ne contient qu’un seul élément. On le noteα.

ii. Démontrer l’existence d’une base𝑒deℂ²telle que :M𝑎𝑡_𝑒(𝑓) = ( α β 0 α ).

iii. Soitε > 0. Démontrer l’existence d’une base𝑒^′deℂ²telle que : M𝑎𝑡_𝑒′(𝑓) = ( α β^′

0 α )où|β^′| ≤ ε.

iv. En déduire l’existence d’une matriceP ∈ GL₂(ℂ)telle que :|||A|||_P ≤ ρ(A) + ε.

c. Déterminer inf

P∈GL₂(ℂ)|||A|||_P. d. Un exemple. SoitA = ( −3 8

−2 5 ). Calculer |||A|||_∞ et montrer qu’il existeP ∈ GL₂(ℂ)telle que

|||A|||_P ≤ 2.

e. On suppose queρ(A) < 1. Justifier l’existence d’une matriceP ∈ GL₂(ℂ)telle que :|||A|||_P < 1.

Que peut-on en déduire concernant la suite(A^𝑛)_𝑛∈ℕ?

Partie IV – Etude de la suite(𝑢_𝑛)

Soit 𝑢₀ > 0et𝑢₁ > 0. On considère la suite définie pour𝑛 ≥ 0 par :𝑢_𝑛+2 = 2

𝑢_𝑛+1+ 𝑢_𝑛. On considère la fonction :

𝑓 ∶

(ℝ^∗₊)² → (ℝ^∗₊)² (𝑥, 𝑦) ↦ (𝑦, 2

𝑥 + 𝑦) . On a alors :𝑓(𝑢_𝑛, 𝑢_𝑛+1) = (𝑢_𝑛+1, 𝑢_𝑛+2)pour tout𝑛 ∈ ℕ.

1. Justifier que𝑓est de classe𝒞¹.

Dans la suite, on note d𝑓(𝑥₀,𝑦₀)etJ_{(𝑥0,𝑦0)}la différentielle et la jacobienne de𝑓au point(𝑥₀, 𝑦₀) ∈ (ℝ^∗₊)². 2. Déterminer les points fixes de𝑓dans(ℝ^∗₊)².

3. Déterminer la matriceJ_(1,1).

4. Démontrer l’existence d’une matriceP ∈ GL₂(ℂ)telle que||||||J(1,1)||||||_P = √2 2 . 5. On fixe un réelαvérifiant √2

2 < α < 1.

a. Justifier l’existence d’un réelη > 0tel que :

∀(𝑥₀, 𝑦₀) ∈ (ℝ^∗₊)², ‖(1, 1) − (𝑥₀, 𝑦₀)‖_P ≤ η ⟹ ||||||J(𝑥₀,𝑦₀)||||||_P ≤ α.

Dans la suite, on noteDle disque fermé de centre(1, 1)et de rayonηpour la norme||| |||_P et on suppose qu’il existe un entier𝑛₀tel que(𝑢_𝑛0, 𝑢_𝑛0+1) ∈ D.

b. Soit(𝑥₀, 𝑦₀) ∈ D ∩ (ℝ^∗₊)². On définit, pour𝑡 ∈ [0, 1]:

φ(𝑡) = 𝑓 ((1, 1) + 𝑡[(𝑥0, 𝑦₀) − (1, 1)]) .

Justifier queφest de classe𝒞¹et obtenir une expression deφ^′(𝑡)faisant intervenir la différentielle de𝑓. En déduire :

‖(1, 1) − 𝑓(𝑥₀, 𝑦₀)‖_P ≤ α‖(1, 1) − (𝑥₀, 𝑦₀)‖_P. c. Démontrer que, pour tout𝑛 ≥ 𝑛₀,(𝑢_𝑛, 𝑢_𝑛+1) ∈ D.

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d. Démontrer que, pour tout𝑛 ≥ 𝑛₀, on a l’inégalité :

‖(1, 1) − (𝑢_𝑛, 𝑢_𝑛+1)‖_P ≤ α^𝑛−𝑛0‖(1, 1) − (𝑢_𝑛0, 𝑢_𝑛0+1)‖_P.

e. Obtenir que :𝑢_𝑛 = 1 + O(α^𝑛).

f. Que peut-on en déduire concernant le comportement de la suite(𝑢_𝑛)? sur le comportement de la série ∑

𝑛≥0

𝑢_𝑛? de la série ∑

𝑛≥0

(𝑢_𝑛− 1)?

Partie V – Suite de l’étude

On considère une suite réelle(𝑥_𝑛)_𝑛∈ℕ. On rappelle qu’une valeur d’adhérence de(𝑥_𝑛)est un réelλpour lequel il existe une suite(𝑥_φ(𝑛))extraite de(𝑥_𝑛)qui converge versλ. On rappelle que toute suite bornée admet une valeur d’adhérence et on admet que tout suite bornée admet une plus petite et une plus grande valeur d’adhérence.

1. a. Soit(𝑥_𝑛)une suite bornée non convergente admettantλpour valeur d’adhérence. Justifier l’existence d’un réel𝑟 > 0tel que, pour toutN ∈ ℕ, il existe𝑛 ≥ Nvérifiant|𝑥_𝑛− λ| > 𝑟. En déduire que(𝑥_𝑛) admet une valeur d’adhérenceλ^′≠ λ.

b. Montrer que toute suite bornée ayant une unique valeur d’adhérence est convergente.

c. Soit(𝑥_𝑛)une suite bornée. On noteℓ₋sa plus petite valeur d’adhérence etℓ₊sa plus grande. Montrer l’équivalence :(𝑥_𝑛)est convergente si et seulement siℓ₋= ℓ₊.

2. Dans cette question,(𝑢_𝑛)désigne la suite étudiée dans la partieIV.

On poseα =min{𝑢₀, 𝑢₁, 1 𝑢₀, 1

𝑢₁}.

a. Montrer que, pour tout𝑛 ∈ ℕ,α ≤ 𝑢_𝑛 ≤ 1

α. On noteℓ₋etℓ₊les plus petite et plus grande valeurs d’adhérences de(𝑢_𝑛).

b. Justifier l’existence d’une suite extraite(𝑢_φ(𝑛))de(𝑢_𝑛)telle que(𝑢_φ(𝑛))et(𝑢_φ(𝑛)+1)convergent et 𝑢_φ(𝑛)+2 ⟶

𝑛→+∞

⟶ℓ₋. En déduire l’inégalitéℓ₋ℓ₊≥ 1.

c. Montrer que l’on a :ℓ₋ℓ₊= 1.

d. En considérant une suite extraite(𝑢_φ(𝑛))de(𝑢_𝑛)telle que(𝑢_φ(𝑛)),(𝑢_φ(𝑛)+1)et(𝑢_φ(𝑛)+2)convergent et(𝑢_φ(𝑛)+3) ⟶

𝑛→+∞ℓ₋, obtenir l’égalitéℓ₋= ℓ₊et conclure.

e. Que peut-on dire de l’hypothèse d’existence d’un entier𝑛₀tel que(𝑢_𝑛0, 𝑢_𝑛0+1) ∈ Ddans la question IV.5.a?

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