© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Devoir surveillé n°02
• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
• On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.
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Problème 1 – Un développement asymptotique de la série harmonique (d’après ENS BL 2010)�
� Dans tout le problème, on considère les suites(H𝑛)𝑛∈ℕ∗ et(𝑢𝑛)𝑛∈ℕ∗ définies pour tout entier naturel non
nul𝑛par :
H𝑛 =
𝑛
∑
𝑘=1
1
𝑘 et 𝑢𝑛 = H𝑛−ln𝑛
Partie I –
1. Etablir pour tout entier naturel𝑘non nul l’encadrement suivant : 1
𝑘 + 1 ≤ln(𝑘 + 1) −ln(𝑘) ≤ 1 𝑘 2. a. Quelle est la limite de la suite(H𝑛)?
b. En utilisant le résultat de la question1, montrer pour tout entier naturel non nul 𝑛l’encadrement suivant :
ln(𝑛) + 1
𝑛 ≤ H𝑛≤ln(𝑛) + 1 c. En déduire un équivalent simple deH𝑛quand𝑛tend vers+∞.
3. a. En utilisant à nouveau l’encadrement obtenu à la question1, montrer que la suite(𝑢𝑛)est décrois- sante.
b. En déduire que cette suite est convergente; on noteγsa limite. Montrer queγappartient à[0, 1].
4. Soit𝑓une fonction de classe𝒞2surℝ∗+. On pose pour tout entier naturel non nul𝑘: J𝑘 = 1
2∫
𝑘+1
𝑘
(𝑡 − 𝑘 − 1 2)
2
𝑓″(𝑡) d𝑡 a. Établir pour tout entier naturel non nul𝑘l’égalité suivante :
J𝑘= 𝑓′(𝑘 + 1) − 𝑓′(𝑘)
8 −𝑓(𝑘 + 1) + 𝑓(𝑘)
2 + ∫
𝑘+1
𝑘
𝑓(𝑡) d𝑡
b. En déduire pour tout entier naturel non nul𝑛la relation suivante :
𝑛
∑
𝑘=1
𝑓(𝑘) = 𝑓(1) + 𝑓(𝑛)
2 +𝑓′(𝑛) − 𝑓′(1)
8 + ∫
𝑛
1
𝑓(𝑡) d𝑡 −𝑛−1∑
𝑘=1
J𝑘
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© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
5. On suppose dans cette question que la fonction𝑓est définie surℝ∗+par𝑓(𝑥) = 1 𝑥. a. Établir pour tout entier naturel non nul𝑘la double inégalité suivante :
0 ≤ J𝑘 ≤ ∫
𝑘+1
𝑘
d𝑡 4𝑡3 b. En déduire que la série de terme généralJ𝑘est convergente.
c. En déduire également, pour tout entier naturel non nul𝑛l’encadrement suivant : 0 ≤
+∞
∑
𝑘=𝑛
J𝑘≤ 1 8𝑛2 d. En déduire le développement asymptotique suivant :
H𝑛 =
𝑛→+∞ln(𝑛) + γ + 1
2𝑛 + 𝒪 ( 1 𝑛2)
Partie II – On considère les suites(𝑥𝑛)𝑛≥1et(𝑦𝑛)𝑛≥2définies par :
∀𝑛 ≥ 1, 𝑥𝑛= 𝑢𝑛− 1
2𝑛 et ∀𝑛 ≥ 2, 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛− 𝑥𝑛−1 1. a. Quelle est la limite de la suite(𝑥𝑛)𝑛≥1?
b. Justifier pour tout entier naturel non nul𝑛l’égalité suivante : γ − 𝑥𝑛 =
+∞
∑
𝑘=𝑛+1
𝑦𝑘 c. En déduire pour tout entier naturel non nul𝑛l’égalité suivante :
γ − 𝑥𝑛 = 1 2
+∞
∑
𝑘=𝑛+1
(1 𝑘+ 1
𝑘 − 1+ 2ln(1 − 1 𝑘)) 2. Montrer que
1 𝑘+ 1
𝑘 − 1 + 2ln(1 − 1 𝑘) ∼
𝑘→+∞
1 3𝑘3 3. En déduire que
H𝑛 =
𝑛→+∞ln(𝑛) + γ + 1 2𝑛− 1
12𝑛2 + 𝑜 ( 1 𝑛2)
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