Enoncé

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Devoir à la maison n°02

• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.

• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.

• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.

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Problème 1 – Centrale PC 2003�

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Partie I – 1. a. Déterminer un équivalent simple de 𝑒^𝑡

arcsin𝑡lorsque𝑡tend vers0⁺. b. En déduire un équivalent simple de∫

1

𝑥

𝑒^𝑡

arcsin𝑡 d𝑡lorsque𝑥tend vers0⁺. c. En déduire un équivalent simple de∫

𝑥²

𝑥³

𝑒^𝑡

arcsin𝑡 d𝑡lorsque𝑥tend vers0⁺. 2. a. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que

∫

𝑥

2

lnd𝑡𝑡 ∼

𝑥→+∞

𝑥 ln𝑥 b. Plus généralement montrer que pour𝑛 ∈ ℕ,

∫

𝑥

2

d𝑡 ln𝑡 =

𝑥→+∞

𝑛

∑

𝑘=0

𝑘!𝑥

ln^𝑘+1(𝑥)+ 𝑜 ( 𝑥 ln^𝑛+1(𝑥)) 3. Montrer que

∫

𝑥

1

𝑒^𝑡

𝑡²+ 1 d𝑡 =

𝑥→+∞

𝑒^𝑥 𝑥² +2𝑒^𝑥

𝑥³ + 𝑜 (𝑒^𝑥 𝑥³)

Partie II –

Soit𝑎un nombre réel et𝑓une application de classe𝒞¹sur[𝑎, +∞[à valeurs strictement positives. On suppose que lim

𝑥→+∞

𝑥𝑓^′(𝑥)

𝑓(𝑥) = α ∈ ℝ. 1. Montrer que lim

𝑥→+∞

ln(𝑓(𝑥)) ln(𝑥) = α.

2. On suppose dans cette question queα < −1.

a. Montrer que𝑓est intégrable sur[𝑎, +∞[.

b. Montrer que

∫

+∞

𝑥

𝑓(𝑡) d𝑡 ∼

𝑥→+∞−𝑥𝑓(𝑥) α + 1

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3. On suppose dans cette question queα > −1.

a. Etudier l’intégrabilité de𝑓sur[𝑎, +∞[.

b. Montrer que

∫

𝑥

𝑎

𝑓(𝑡)d𝑡 ∼

𝑥→+∞

𝑥𝑓(𝑥) α + 1 4. a. Etudier l’intégrabilité sur[2, +∞[des applications𝑥 ↦ 1

𝑥(ln𝑥)^β selonβ ∈ ℝ.

b. Etudier à l’aide des questions précédentes l’intégrabilité sur[2, +∞[des applications𝑥 ↦ 1 𝑥^γ(ln𝑥)^β selonβ ∈ ℝetγ ∈ ℝ.

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