Enoncé

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Devoir surveillé n°01

• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

• On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.

• Les calculatrices sont interdites.

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Problème 1 – Fonction dilogarithme�

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Partie I – Définition et étude de la fonction dilogarithme On pose pour𝑡 ∈] − ∞, 0[∪]0, 1[

𝑓(𝑡) = −ln(1 − 𝑡) 𝑡

1. Justifier que𝑓se prolonge en une fonction de classe𝒞¹sur] − ∞, 1[. Dans la suite, on notera encore𝑓 ce prolongement.

On note alors pour𝑥 ∈] − ∞, 1[

L(𝑥) = ∫

𝑥

0

𝑓(𝑡)d𝑡

2. Justifier queLpeut se prolonger en une fonction continue sur]−∞, 1]. On note encoreLce prolongement.

3. Justifier queLest de classe𝒞¹sur] − ∞, 1[et donner sa dérivée.

4. Déterminer le sens de variation deL.

5. Déterminer la limite deLen−∞.

Partie II – Relations fonctionnelles et valeurs particulières 6. a. A l’aide d’un changement de variable, montrer que

L(1) = ∫

+∞

0

𝑥d𝑥 𝑒^𝑥− 1 b. On pose pour𝑘 ∈ ℕ^∗,

I_𝑘= ∫

+∞

0

𝑥𝑒^−𝑘𝑥 d𝑥 Justifier la convergence de cette intégrale et calculerI_𝑘. c. Montrer que pour tout𝑥 ∈ ℝ^∗₊,0 ≤ 𝑥

𝑒^𝑥− 1 ≤ 1.

d. En déduire que pour tout𝑛 ∈ ℕ^∗,

0 ≤ L(1) −

𝑛

∑

𝑘=1

I_𝑘≤ 1 𝑛

http://lgarcin.github.io 1

(2)

e. On admet que^+∞∑

𝑘=1

1 𝑘² = π²

6 . Déterminer la valeur deL(1).

7. a. Montrer que pour tout𝑥 ∈ [−1, 1],

L(𝑥) + L(−𝑥) = 1 2L(𝑥²) b. En déduire la valeur deL(−1).

8. a. Montrer qu’il existe une constanteCtelle que pour tout𝑥 ∈]0, 1[, L(𝑥) + L(1 − 𝑥) = C −ln(𝑥)ln(1 − 𝑥) puis déterminer la valeur deC.

b. En déduire la valeur deL (1 2).

Partie III – Une équation différentielle On considère les équations différentielles

ℰ ∶ 𝑥𝑦^″+ 𝑦^′= 1 1 − 𝑥 et

ℰ^′∶ 𝑥𝑧^′+ 𝑧 = 1 1 − 𝑥 9. Résoudreℰ^′sur les intervalles] − ∞, 0[et]0, 1[.

10. En déduire les solutions deℰsur les intervalles] − ∞, 0[et]0, 1[. On exprimera ces solutions à l’aide de la fonctionL.

11. Déterminer les éventuelles solutions deℰsur l’intervalle] − ∞, 1[.

(3)

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Problème 2 – EPITA PT-TSI 2018�

� Dans ce problème, on étudie la convergence et la valeur d’intégrales de la forme suivante : I(𝑓) = ∫

+∞

0

𝑓(𝑡) − 𝑓(2𝑡)

𝑡 d𝑡

où𝑓désigne une fonction continue de[0, +∞[versℝque l’on précisera par la suite.

Partie I – On suppose dans cette partie que𝑓est définie par𝑓(𝑡) = P(𝑡)

𝑡²+ 1 avecPpolynomiale.

1. On suppose dans cette question queP(𝑡) = 1i.e.𝑓(𝑡) = 1 𝑡²+ 1. a. Justifier la convergence de l’intégraleI(𝑓).

b. Calculer la valeur deI(𝑓)à l’aide d’une décomposition en éléments simples.

2. On suppose dans cette question queP(𝑡) = 𝑡i.e.𝑓(𝑡) = 𝑡

𝑡²+ 1. Justifier la convergence et déterminer la valeur deI(𝑓).

3. On suppose dans cette question queP(𝑡) = 𝑡²i.e.𝑓(𝑡) = 𝑡²

𝑡²+ 1. Justifier la convergence et déterminer la valeur deI(𝑓).

4. Que peut-on dire deI(𝑓)lorsqueP(𝑡) = 𝑡^𝑛 avec𝑛 ≥ 3?

Partie II – On suppose dans cette partie que𝑓est définie par𝑓(𝑡) = 𝑒^−𝑡.

5. Justifier la convergence deI(𝑓).

6. Justifier que pour toutε > 0,

∫

+∞

ε

𝑒^−𝑡− 𝑒^−2𝑡

𝑡 d𝑡 = ∫^2ε

ε

𝑒^−ᵆ− 1

𝑢 d𝑢 + ∫^2ε

ε

d𝑢 𝑢

7. Justifier queℎ ∶ 𝑢 ∈ ℝ^∗↦ 𝑒^−ᵆ− 1

𝑢 est prolongeable en une fonction continue surℝ.

8. En déduire la valeur deI(𝑓).

9. Déterminer la convergence et la valeur de

J = ∫

1

0

𝑢 − 1 ln(𝑢) d𝑢