© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Devoir à la maison n°03
• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.
• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.
• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.
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Problème 1 – D’après Centrale MP 1996�
� On noteℱl’ensemblde des fontions définies surℝà valeurs dansℝetℒla partie deℱformée des fonctions lipschitziennessurℝ. On rappelle qu’une fonctionφest lipschitziennne surℝs’il existeK ∈ ℝ+tel que
∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2, |φ(𝑥) − φ(𝑦)| ≤ K|𝑥 − 𝑦|
L’objectif de ce problème est de déterminer les fonctionsF ∈ ℒtelles que
∀𝑥 ∈ ℝ, F(𝑥) − λF(𝑥 + 𝑎) = 𝑓(𝑥) (⋆)
où𝑓est une fonction deℒdonnée et où𝑎etλsont deux réels non nuls donnés.
Partie I – Questions préliminaires 1. Montrer qu’une fonction constante surℝappartient àℒ.
2. Montrer que cos et sin appartiennent àℒ.
3. Montrer queℒest un sous-espace vectoriel deℱ.
4. Soitφ ∈ ℒ. Montrer qu’il existe deux réels positifsAetBtels que
∀𝑡 ∈ ℝ, |φ(𝑡)| ≤ A|𝑡| + B 5. Soit𝑞un complexe de module strictement inférieur à1.
a. On sait qu’alors la série ∑
𝑛∈ℕ
𝑞𝑛 converge. Rappeler sa somme.
b. Montrer que la série ∑
𝑛∈ℕ
𝑛𝑞𝑛converge.
6. On suppose dans cette question|λ| < 1.
a. On fixe𝑥 ∈ ℝ. Justifier que la série ∑
𝑛∈ℕ
λ𝑛𝑒𝑖(𝑥+𝑛𝑎)converge et déterminer sa somme.
b. Montrer que les séries ∑
𝑛∈ℕ
λ𝑛cos(𝑥 + 𝑛𝑎)et ∑
𝑛∈ℕ
λ𝑛sin(𝑥 + 𝑛𝑎)convergent et que
+∞
∑
𝑛=0
λ𝑛cos(𝑥 + 𝑛𝑎) = cos𝑥 − λcos(𝑥 − 𝑎) 1 − 2λcos𝑎 + λ2
+∞
∑
𝑛=0
λ𝑛sin(𝑥 + 𝑛𝑎) = sin𝑥 − λsin(𝑥 − 𝑎) 1 − 2λcos𝑎 + λ2
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© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Partie II – Etude de(⋆)lorsque𝑓est nulle et|λ| ≠ 1 On suppose dans cette partie que𝑓est nulle surℝet|λ| ≠ 1.
1. SoitF ∈ ℱvérifiant (⋆). Montrer que pour tout𝑥 ∈ ℝet tout𝑛 ∈ ℕ F(𝑥) = λ𝑛F(𝑥 + 𝑛𝑎) F(𝑥) = λ−𝑛F(𝑥 − 𝑛𝑎)
2. On suppose maintenant queF ∈ ℒ. Montrer à l’aide de la question4queFest nulle surℝ. On pourra distinguer les cas|λ| < 1et|λ| > 1.
Partie III – Etude de(⋆)lorsque|λ| ≠ 1
1. Montrer à l’aide de la question2que l’équation (⋆) admet au plus une solution dansℒ.
2. On suppose dans cette question|λ| < 1.
a. On fixe𝑥 ∈ ℝ. Montrer à l’aide de la question4que la série ∑
𝑛∈ℕ
λ𝑛𝑓(𝑥 + 𝑛𝑎)converge absolument.
On pose alorsF0(𝑥) =
+∞
∑
𝑛=0
λ𝑛𝑓(𝑥 + 𝑛𝑎). b. Montrer queF0∈ ℒ.
c. Montrer queF0est l’unique solution de (⋆) appartenant àℒ.
d. Déterminer l’unique solution de (⋆) appartenant àℒlorsque𝑓est la fonction constante égale à1. e. A l’aide de la question6.b, déterminer l’unique solution de (⋆) appartenant àℒ lorsque𝑓 est la
fonction cos ou la fonction sin.
3. On suppose dans cette question|λ| > 1.
a. On fixe𝑥 ∈ ℝ. Justifier brièvement que la série ∑
𝑛∈ℕ∗
λ−𝑛𝑓(𝑥 − 𝑛𝑎)converge absolument. On pose alorsF0(𝑥) = −
+∞
∑
𝑛=1
λ−𝑛𝑓(𝑥 − 𝑛𝑎).
b. Montrer queF0est l’unique solution de (⋆) appartenant àℒ.
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