Enoncé

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Devoir surveillé n°08

• La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des rai- sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

• On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.

• Les calculatrices sont interdites.

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Problème 1 – Mines-Ponts PSI II 2017�

� Dans tout le problème, les espaces vectoriels considérés ontℂ, le corps des complexes, pour corps de base.

Etant donnés deux entiers naturels𝑛et𝑝non nuls, on noteℳ_𝑛,𝑝(ℂ)l’espace vectoriel des matrices à𝑛lignes et𝑝colonnes et à coefficients dansℂ(et0_𝑛,𝑝sa matrice nulle) etℳ_𝑛(ℂ)celui des matrices carrées à𝑛lignes et à coefficients dansℂ(et0_𝑛sa matrice nulle).

SoitEunℂ-espace vectoriel. On noteℒ(E)l’espace vectoriel des endomorphismes deE.

Un endomorphisme𝑢deEest ditéchangeurlorsqu’il existe des sous-espaces vectorielsFetGdeEtels que E = F ⊕ G, 𝑢(F) ⊂ G et 𝑢(G) ⊂ F

Etant donnés deux endomorphismes𝑢 et𝑣 deE, on dit que 𝑣estsemblableà 𝑢lorsqu’il existe un automor- phismeφde Etel que𝑣 = φ ∘ 𝑢 ∘ φ⁻¹. On notera que dans ce cas𝑢 = φ⁻¹∘ 𝑣 ∘ (φ⁻¹)⁻¹, si bien que𝑢est semblable à𝑣.

On dit que𝑢estde carré nullorsque𝑢² est l’endomorphisme nul deE. On dit que𝑢 estnilpotentlorsqu’il existe un entier naturel𝑛 ≥ 1tel que𝑢^𝑛 = 0.

Une matriceA ∈ ℳ_𝑛(ℂ)est ditede carré nullorsqueA²= 0.

L’objectif du problème est d’établir, pour un endomorphisme d’unℂ-espace vectoriel de dimension finie, l’équivalence entre les conditions suivantes :

(C1) l’endomorphisme𝑢est échangeur;

(C2) il existe𝑎, 𝑏 ∈ ℒ(E), tous deux de carré nul, tels que𝑢 = 𝑎 + 𝑏; (C3) les endomorphismes𝑢et−𝑢sont semblables.

Chacune des parties I et II est indépendante des autres. Les résultats de la partie IV sont essentiels au traitement des parties V et VI.

I Quelques considérations en dimension 2

On se donne ici unℂ-espace vectoriel de dimension 2 et un endomorphisme𝑢deE.

1 Montrer que si𝑢vérifie la condition(C3)alors𝑢est de trace nulle.

Jusqu’à la fin de cette partie, on suppose𝑢de trace nulle et de déterminant non nul.

On choisit un nombre complexeδtel queδ²= −det(𝑢).

2 Montrer que𝑢²= δ²IdE, déterminer le spectre de𝑢et préciser la dimension des sous-espaces propres.

3 Expliciter, à l’aide de vecteurs propres de𝑢, une droite vectorielleDtelle que𝑢(D) ⊄ Det en déduire que𝑢 est échangeur.

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II La condition (C1) implique (C2) et (C3)

Soient 𝑛et𝑝deux entiers naturels non nuls. SoientA ∈ ℳ_𝑝,𝑛(ℂ)etB ∈ ℳ_𝑛,𝑝(ℂ). On considère dans ℳ_𝑛+𝑝(ℂ)la matrice

M = [0_𝑛 B A 0_𝑝] 4 Calculer le carré de la matrice[0_𝑛 B

0_𝑝,𝑛 0_𝑝]deℳ_𝑛+𝑝(ℂ). Montrer ensuite queMest la somme de deux matrices de carré nul.

5 On considère dansℳ_𝑛+𝑝(ℂ)la matrice diagonale par blocs

D = [ I_𝑛 0_𝑛,𝑝 0_𝑝,𝑛 −I_𝑝]

Montrer queDest inversible, calculerD⁻¹puisDMD⁻¹, et en déduire queMest semblable à−M.

Jusqu’à la fin de cette partie, on se donne un endomorphisme𝑢d’unℂ-espace vectorielEde dimension finie.

On suppose que𝑢est échangeur et on se donne donc une décompositionE = F ⊕ Gdans laquelleFetGsont des sous-espaces vectoriels vérifiant𝑢(F) ⊂ Get𝑢(G) ⊂ F.

6 On suppose iciFetGtous deux non nuls.

On se donne une base(𝑓₁, … , 𝑓_𝑛)deFet une base(𝑔₁, … , 𝑔_𝑝)deG. La familleℬ = (𝑓₁, … , 𝑓_𝑛, 𝑔₁, … , 𝑔_𝑝)est donc une base deE.

Compte-tenu des hypothèses, décrire la forme de la matrice𝑢dansB.

7 Déduire des questions précédentes que𝑢vérifie(C2)et(C3).

On n’oubliera pas de considérer le cas où l’un des sous-espacesFouGest nul.

III La condition (C2) implique (C1) : cas d’un automorphisme

Dans cette partie,𝑢désigne un automorphisme d’unℂ-espace vectorielEde dimension finie. On suppose qu’il existe deux endomorphismes𝑎et𝑏deEtels que

𝑢 = 𝑎 + 𝑏 et 𝑎²= 𝑏²= 0

8 Soit𝑓un endomorphisme deEtel que𝑓² = 0. Comparer Ker(𝑓)à Im(𝑓)et en déduire dim(Ker(𝑓)) ≥ 1

2dim(E)

9 Démontrer queE =Ker(𝑎) ⊕Ker(𝑏), et que Ker(𝑎) =Im(𝑎)et Ker(𝑏) =Im(𝑏). 10 En déduire que𝑢est échangeur.

IV Intermède : un principe de décomposition

On se donne dans cette partie unℂ-espace vectorielEde dimension finie, ainsi qu’un endomorphisme𝑓de E. On se donne un nombre complexe arbitraireλ. On pose𝑣 = 𝑓 − λIdE.

11 Montrer que la suite(Ker(𝑣^𝑘))_𝑘∈ℕest croissante pour l’inclusion.

12 Montrer qu’il existe un entier naturel𝑝tel que

∀𝑘 ≥ 𝑝, Ker(𝑣^𝑘) =Ker(𝑣^𝑝)

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On pourra introduire la plus grande dimension possible pour un sous-espace vectoriel de la formeKer(𝑣^𝑘) pour𝑘 ∈ ℕ.

Montrer qu’alors

Ker(𝑣^𝑝) =

𝑘∈ℕ⋃

Ker(𝑣^𝑘) et que𝑝peut être choisi parmi les entiers pairs.

Dans la suite de cette partie, on fixe un entier naturel pair𝑝donné par la question12et l’on pose E_λ^𝑐(𝑓) =

𝑘∈ℕ⋃

Ker(𝑣^𝑘) =Ker(𝑣^𝑝) On notera queE^𝑐_λ(𝑓)est un sous-espace vectoriel deE.

13 Montrer queE^𝑐_λ(𝑓) =Ker(𝑣^2𝑝)et en déduire

E = E_λ^𝑐(𝑓) ⊕Im(𝑣^𝑝)

Montrer en outre que les sous-espaces vectorielsE^𝑐_λ(𝑓)et Im(𝑣^𝑝)sont tous deux stables par𝑓.

14 Montrer queλn’est pas valeur propre de l’endomorphisme induit par𝑓sur Im(𝑣^𝑝).

Montrer que siE^𝑐_λ(𝑓) n’est pas nul alorsλ est l’unique valeur propre de l’endomorphisme induit par𝑓 sur E^𝑐_λ(𝑓).

15 On se donne ici un nombre complexeμ ≠ λ. On suppose que toute valeur propre de𝑓différente deλest égale àμ.

Montrer queE = E_λ^𝑐(𝑓) ⊕ E^𝑐_μ(𝑓).

V La condition (C2) implique (C1) : cas non bijectif

On admet la validité de l’énoncé suivant.

Théorème: tout endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel de dimension finie est échangeur.

On se donne ici un endomorphisme non bijectif𝑢d’unℂ-espace vectorielEde dimension finie.

On suppose qu’il existe deux endomorphismes𝑎et𝑏deEtels que 𝑢 = 𝑎 + 𝑏 et 𝑎²= 𝑏²= 0 16 Montrer que𝑎et𝑏commutent avec𝑢².

On fixe maintenant un entier pair𝑝tel queE^𝑐₀(𝑢) =Ker(𝑢^𝑝), donné par la question12.

17 Montrer que le sous-espace vectorielG =Im(𝑢^𝑝)est stable par𝑎et𝑏et que les endomorphismes induits𝑎_G et𝑏_Gsont de carré nul.

18 En déduire que𝑢est échangeur.On pourra utiliser, entre autres, le résultat final de la partie III.

VI La condition (C3) implique (C1)

SoitEunℂ-espace vectoriel de dimension finie non nulle.

Un endomorphisme𝑢deEest ditindécomposablelorsque (i) la condition(C3)est vérifiée par𝑢

(ii) il n’existe aucune décompositionE = F ⊕ Gdans laquelleFetGsont des sous-espaces non nuls, stables par𝑢et tels que les endomorphismes induits𝑢_Fet𝑢_Gvérifient tous deux la condition(C3).

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Jusqu’à la question 21incluse, on se donne un endomorphisme indécomposable et non nilpotent𝑢 deE. On dispose en particulier d’un automorphismeφdeEtel que

−𝑢 = φ ∘ 𝑢 ∘ φ⁻¹ 19 Montrer queφ²commute avec𝑢.

20 Montrer queφ²possède une unique valeur propreλ. En déduire que les valeurs propres deφsont parmiαet

−α, pour un certain nombre complexe non nulα.

On utilisera l’indécomposabilité de𝑢ainsi que les résultats des questions13et14.

21 En déduire que𝑢est échangeur.

On pourra appliquer le résultat de la question15.

22 En déduire plus généralement que, pour tout endomorphisme d’unℂ-espace vectoriel de dimension finie, la condition(C3)implique la condition(C1).

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