Enoncé

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Devoir à la maison n°07

• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.

• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.

• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.

�

� On identifie dans ce poblème les polynômes à leurs fonctions polynomiales associées. On noteE_𝑛 = ℝ_𝑛[X]

où𝑛est un entier naturel non nul.

1 On associe à𝑓 ∈ E_𝑛 l’applicationL(𝑓)définie par

∀𝑥 ∈ ℝ, L(𝑓)(𝑥) = 𝑒^−𝑥∫

𝑥

−∞

𝑓(𝑡)𝑒^𝑡d𝑡

1.a Justifier que l’applicationLest bien définie.

1.b CalculerL(1).

1.c Montrer que pour tout𝑘 ∈J0, 𝑛 − 1K,L(X^𝑘+1) = X^𝑘+1− (𝑘 + 1)L(X^𝑘).

1.d En déduire queLest un endomorphisme deE_𝑛.

2 2.a Soient𝑓 ∈ E_𝑛et𝑔 = L(𝑓). Montrer que𝑔est solution surℝde l’équation différentielle𝑦^′+ 𝑦 = 𝑓.

2.b En déduire Ker(L)puis queLest un automorphisme deE_𝑛. 3 Soientλune valeur propre deLet𝑓un vecteur propre associé.

3.a Justifier queλ ≠ 0.

3.b Montrer que𝑓est solution surℝde l’équation différentielle(ℰ) ∶ λ𝑦^′+ (λ − 1)𝑦 = 0.

3.c Résoudre l’équation différentielle(ℰ)surℝ.

3.d Déterminer les solutions polynomiales de(ℰ).

3.e En déduire les valeurs propres deLet les sous-espaces propres associés.

3.f L’endomorphismeLest-il diagonalisable?

4 On noteD ∶ P ∈ E_𝑛 ↦ P^′et Id∶ P ∈ E_𝑛 ↦ P.

4.a ComparerL⁻¹etD +Id.

4.b Déterminer la matriceMdeL⁻¹dans la base canoniqueℬdeE_𝑛.

4.c Déterminer les valeurs propres deL⁻¹. Retrouver alors les valeurs propres deL.

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